Равнобедренный и равносторонний треугольники

Треугольник называется равнобедренным, если у него равны две стороны (рисунок 14). При этом равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.

Равнобедренный треугольник обладает следующими свойствами:

Свойство углов при основании равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Свойство медианы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой.

Доказать, что треугольник является равнобедренным, помогают следующие признаки равнобедренного треугольника:

1. Если два угла треугольника равны, то треугольник является равнобедренным, причем равные углы прилежат к его основанию.

2. Если высота треугольника одновременно является его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный, а названная высота проведена к его основанию.

3. Если высота треугольника одновременно является его медианой, то этот треугольник равнобедренный, а названная высота проведена к его основанию.

4. Если медиана треугольника одновременно является его высотой, то этот треугольник равнобедренный, а названная медиана проведена к его основанию.

Треугольник называется равносторонним, если у него равны все три стороны (рисунок 15). Поскольку равносторонний треугольник является равнобедренным, он обладает всеми свойствами равнобедренного треугольника, причем основанием в нем можно считать любую сторону. В частности, каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

7. Прямоугольный треугольник с углом в 30°.

Докажем свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°: В прямоугольном треугольнике с углом в 30° гипотенуза вдвое больше катета, лежащего напротив этого угла.

Пусть в прямоугольном треугольнике ABC Ð A =30°, Ð C =90° (рисунок 16). Требуется доказать, что AB =2 BC.

1. Продлим катет BC за точку C на расстояние CD = BC и соединим точки A и D. Поскольку AC – высота и медиана треугольника ABD, он является равнобедренным с основанием BD по признаку равнобедренного треугольника.

2. Ð D =Ð B =90°-30°=60° по свойству углов при основании равнобедренного треугольника.

3. По теореме о сумме углов треугольника получаем: Ð BAD =180°-2×60°=60°. Таким образом, в треугольнике ABD каждый угол равен 60°, а значит, он является равносторонним. Тогда по определению равностороннего треугольника AB = BD =2 BC, что и требовалось доказать.

Справедлива и обратная теорема – признак прямоугольного треугольника с углом в 30°: Если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.

Доказательство: Пусть в прямоугольном треугольнике ABC Ð C =90°, AB =2 BC (рисунок 17). Требуется доказать, что Ð A =30°.

1. Обозначим BC = a, тогда AB =2 a. Продлим катет BC за вершину C на отрезок CD = a и соединим точки A и D. Поскольку AC – высота и медиана треугольника ABD, он является равнобедренным с основанием BD по признаку равнобедренного треугольника, то есть AD = AB =2 a.

2. Поскольку AB = AD =2 a = BD, треугольник ABD является равносторонним по определению. Но тогда по свойству равностороннего треугольника Ð BAD =Ð B =Ð D =60°.

3. Из треугольника ABC по теореме о сумме углов треугольника получаем: Ð BAC =90°-60°=30°, что и требовалось доказать.