Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Фигуры называются равными, если они совмещаются при наложении. У равных фигур равны все соответственные элементы.

Признаки равенства треугольников:

1. (по двум сторонам и углу между ними) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними второго треугольника, то эти треугольники равны (на рисунке 10 D PQR =D ABC, поскольку PQ = AB, PR = AC, и Ð RPQ =Ð CAB).

2. (по стороне и двум прилежащим к ней углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам второго треугольника, то эти треугольники равны (на рисунке 11 D PQR =D ABC, поскольку PR = AC, Ð RPQ =Ð CAB, и Ð PRQ =Ð ACB).

3. (по трем сторонам) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам второго треугольника, то эти треугольники равны (на рисунке 12 D ABC =D PQR, поскольку AB = PQ, BC = QR, и AC = PR).

Замечание: При обозначении равных треугольников нужно обращать внимание на порядок следования их вершин. К примеру, из записи «D ABC =D PQR следует, что AB = PQ, BC = QR, AC = PR, Ð A =Ð P, Ð B =Ð Q, и Ð C =Ð R».

Напомним, что в прямоугольном треугольнике сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами (рисунок 13).

При сравнении двух прямоугольных треугольников пользуются следующими признаками равенства прямоугольных треугольников:

1. (по двум катетам) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам второго прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

2. (по катету и острому углу) Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу второго прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

3. (по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу второго прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

4. (по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету второго прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Следует заметить, что признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам элементарным образом вытекает из признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, а по катету и острому углу и гипотенузе и острому углу – из признака равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам. Самостоятельную ценность представляет собою лишь признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету, и его нужно иметь в виду.