Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как противостоять манипуляциям мужчин? Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема сложения для совместных событий





Суммой 2-х совместных событий называют событие, состоящее в появлении либо события A, либо события B, либо обоих сразу.

Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления. p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)

Доказательство:

A+B=AB+AB+AB (сумма несовместных пар)

Тогда p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)

Событие A=AB+AB,

Событие B=AB+AB

p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB)

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B), где A и B - независимые;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B∖A), где A и B - зависимые;

Теоремы о вероятностях. Теоремы сложения несовместных событий.

Суммой 2-х несовместных событий A+B называется событие, состоящее в появлении либо события А, либо события B.

Теорема. Вероятность суммы 2-х несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий p(A+B)=p(A)+p(B)

Доказательство.

Если n - общее число всех элементарных исходов;

m1 -- число исходов благоприятных событию A;

m2 -- число исходов благоприятных событию B;

p(A+B)=nm1+m2=nm1+nm2=p(A)+p(B)

Теорема. Вероятность суммы нескольких парно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Доказательство проводится методом математической индукции.

Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна 1.

p(A1)+...+p(Ak)=1

Доказательство. Согласно теореме p(A1+A2+...Ak)=p(A1)+p(A2)+...p(Ak).

Так как события Ai образуют полную группу, то сумма событий A1+A2+...Ak есть достоверное событие (хотя бы одно произойдет).

Следовательно, p(A1+A2+...Ak)=1, а потому p(A1)+...+p(Ak)=1.

ЧТД

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. p(A)+p(A)=1

Доказательство производится на основании предыдущей теоремы, так как эти события образуют полную группу, несовместны.

Множества и операции над множествами

Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем придерживаться дальше.



Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами , а элементы множества строчными латинскими буквами .

Запись означает, что есть множество с элементами , которые связаны между собой какой-то функцией .

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

Основные операции:

1. Принадлежность элемента множеству:

где -- элемент и -- множество (элемент принадлежит множеству ).

2. Непринадлежность элемента множеству:

где -- элемент и -- множество (элемент не принадлежит множеству ).

3. Объединение множеств: .

Объединением двух множеств и называется множество , которое состоит из элементов множеств и , т.е.

или

4. Пересечение множеств: .

Пересечением двух множеств и называется множество , которое состоит из общих элементов множеств и , т.е.

и

5. Разность множеств: .

Разностью двух множеств и , например, множество минус множество , называется множество , которое состоит из элементов множества , которых нет в множестве , т.е.

и

6. Симметрическая разность множеств: .

Симметрической разностью двух множеств и называется множество , которое состоит из не общих элементов множеств и , т.е.

7. Дополнение множества: .

Если предположим, что множество является подмножеством некоторого универсального множества , тогда определяется операция дополнения:

и

8. Вхождение одного множества в другое множество: .

Если любой элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество есть подмножество множества (множество входит в множество ).

9. Не вхождение одного множества в другое множество: .

Если существует элемент множества , который не является элементом множества , то говорят, что множество не подмножество множества (множество не входит в множество ).








Date: 2015-07-02; view: 94; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2018 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию