Выбор без возвращения, с учётом порядка

Теорема 2. Общее количество различных наборов при выборе элементов из без возвращения и с учётом порядка равняется

и называется числом размещений из элементов по элементов.

Доказательство. Первый шар можно выбрать способами, его номер — любой из возможных. При любом выборе первого шара есть способ выбрать второй шар. По теореме 1, число возможных пар

равно . Для каждой такой пары есть способа выбрать третий шар. По теореме 1, число возможных троек

равно произведению числа пар и числа способов выбора третьего шара, т.е. равно . Продолжая рассуждения, получим, что общее число возможных наборов из шаров равно . В этом произведении сомножителей последний множитель есть число способов выбора -го шара, когда уже выбраны предыдущие.

QED

Следствие 1. Если в множестве элементов, то существует ровно перестановок этих элементов.

Доказательство. Перестановка — результат выбора без возвращения и с учётом порядка элементов из . Поэтому общее число перестановок равно

QED

Упражнение 3. Найти, сколько всего возможно различных результатов в следующих экспериментах:

а)

из колоды в 36 карт без возвращения, с учётом порядка вынимают три карты;

б)

Вася, Петя, Оля и Лена занимают какие-то четыре из десяти мест в классе;

в)

из русского алфавита выбирают четыре разные буквы и составляют слово;

г)

из различных цифр, не равных нулю, составляется трёхзначное число.