Разработка математических моделей

Составление математического описания состоит в установлении связей между параметрами процесса и выявлении его граничных и начальных условий, а также в формализации процесса в виде системы математических соотношений, характеризующих изучаемый объект (технологический процесс). Математическое описание составляется на основе материальных и энергетических балансов, а также физических законов, определяющих переходные, или какие-либо иные специфические особенности процесса.

Для построения математических моделей технических объектов используются фундаментальные законы физики: сохранения массы, энергии и т. д. Соответственно модели записываются в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, отражающих материальный и тепловой балансы аппаратов, изменения тока и напряжения электрической цепи и т.д. В систему математического описания в общем случае могут входить: алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и в частных производных, эмпирические формулы, логические условия и др.

При моделировании сложных технологических систем возможны следующие случаи.

1. Моделируемая система достаточно хорошо изучена, что позволяет записать аналитические соотношения, которые и будут служить моделью (законы Кирхгофа, уравнения кинетики, уравнения энергетического и материального балансов и т.п.). Предполагается, ито всё коэффициенты аналитических соотношений известны.

2. Математическая модель известна с точностью до неизвестных параметров, для вычисления которых проводится необходимое число экспериментов.

3.Известно, что моделью может служить одна из функций Необходимо провести эксперимент для дискриминации моделей и определить неизвестные параметры адекватной модели.

4. Аналитический вид модели не известен вообще.

В трех последних случаях эффективными являются статистические методы моделирования, представляющие собой совокупность методов многомерной статистики и имитационного моделирования. Методы многомерной статистики (методы регрессионного, дисперсионного, ковариационного, факторного, компонентного и других анализов) базируются на наблюдении за функционированием моделируемой системы и обработке результатов наблюдений. При этом наряду с пассивным наблюдением за системой иногда имеется возможность проводить планирование входных возмущений системы. Тогда эффективно применение методов и идей математической теории планирования эксперимента.

Проверку адекватности (соответствия) математической модели исследуемому процессу необходимо проводить по той причине, что любая модель является лишь приближенным отражением реального процесса вследствие допущений, всегда принимаемых при составлении математической модели. На этом этапе устанавливается, насколько принятые допущения правомерны, и тем самым определяется, применима ли полученная модель для исследования процесса. При необходимости математическая модель корректируется. Для этого используются результаты измерений на самом объекте или на его физической модели, воспроизводящей в небольших масштабах основные физические закономерности объекта моделирования. Поскольку метод математического моделирования позволяет расчленять сложные процессы на более простые составляющие, то перечисленные задачи могут решаться несколько раз (на отдельных этапах).

Рассмотренные этапы являются подготовительными, создающими условия для успешного использования математической модели. От качества подготовки модели зависит качество получаемых результатов, которые заранее предсказать трудно. Однако иногда можно заранее определить, что именно математическое моделирование для решения данной задачи наиболее приемлемо. Это возможно в тех случаях, когда сложно поддерживать одни и те же рабочие режимы при каждом повторении эксперимента на работающем оборудовании или в течение всего времени проведения серии экспериментов для получения одной и той же величины выборки (и, следовательно, статистической значимости результатов экспериментирования) могут потребоваться чрезмерные затраты времени и средств при экспериментировании с реальными системами невозможно исследование множества альтернативных вариантов, связанных с аварийными или опасными технологическими режимами; есть уверенность в успешном создании модели изучаемой системы или операции. Для этого следует заранее иметь возможность сбора необходимого количества информации об элементах и связях в моделируемой системе, что обеспечивает достоверность процесса моделирования имеется возможность (и необходимость) побочного использования процесса построения моделей элементов системы для их исследования; все другие методы решения непригодны.

Практически математическое моделирование как метод не имеет ограничений, так как: моделирующая система может одновременно содержать описания элементов непрерывного и дискретного действия и быть подверженной влиянию многочисленных случайных факторов сложной природы; допустимо описание системы соотношения большой ₍размерности; обеспечивается простота перехода от одной задачи к дру-'гой введением переменных параметров, возмущений и различных начальных условий.

Последовательным наращиванием элементов моделей можно исследовать системы любой сложности, для которых достаточно полно известны функционирование и взаимосвязь относительно несложных исходных элементов. При этом переход на более высокий уровень моделирования звеньев системы связан с увеличением количества участвующих в модели элементов, что приводит к необходимости их упрощения или к представлению в виде обобщенных характеристик, полученных на предыдущем этапе имитации. При этом объем моделей сохраняется в некоторых допустимых пределах.

По сравнению с физическим метод математического моделирования более универсален, так как он:

позволяет с помощью одного устройства осуществить решение целого класса задач, имеющих одинаковое математическое описание;

обеспечивает простоту перехода от одной задачи к другой, введение переменных параметров, возмущений и различных начальных условий;

дает возможность моделировать по частям (по «элементарным» процессам), что особенно существенно при исследованиях сложных объектов химической технологии;

использует быстродействующую вычислительную технику, которая непрерывно совершенствуется;

экономичнее метода физического моделирования как по затратам времени, так и по стоимости.