Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Частинні похідні n-го порядку
Частинні похідні і функції z=f(х;y) є деякими функціями змінних х та y і, в свою чергу, можуть мати частинні похідні і по х, і по y, які називаються частинними похідними другого порядку від функції z=f(х;y). Позначаються і визначаються похідні другого порядку так: (9.31) (9.32) (9.33) (9.34)
Теорема 1. Якщо функція z=f(х;y) та її частинні похідні , , , неперервні у точці М(х;y) і в деякому околі цієї точки, то у цій точці
= . (9.35)
Частинні похідні другого порядку знову можна диференціювати по х та по y. При цьому отримаємо частинні похідні третього порядку, яких для функції двох змінних z=f(х;y) буде вісім:
(9.36) (9.37) (9.38) (9.39) (9.40) (9.41) (9.42) (9.43) Означення 20. Частинною похідною n-го порядку функції z=f(х;y) називається частинна похідна першого порядку від частинної похідної (n-1)-го порядку. Приклад 14. Для функції довести, що . Знайдемо спочатку частинні похідні першого та другого порядків заданої функції:
Тепер розглянемо вираз та підставимо знайдені похідні: що і треба було довести. Приклад 15. Знайти частинні похідні другого порядку функції Знайдемо частинні похідні першого порядку:
А тепер знайдемо частинні похідні другого порядку: Таким чином .
10. ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ z=f(х;y)
Означення 21. Точка M0(x0;y0) називається точкою локального максимуму функції z=f(х;y) якщо існує такий окіл точки M0, в якому для будь-якої точки M(x;y) (окрім самої точки M0(x0;y0)) виконується нерівність
. (10.44)
Означення 22. Точка M0(x0;y0) називається точкою локального мінімуму функції z=f(х;y), якщо існує такий окіл точки M0, в якому для будь-якої точки M(x;y) (окрім самої точки M0(x0;y0)) виконується нерівність
. (10.45) Означення 23. Локальні мінімуми і максимуми функції називаються її локальними екстремумами. Точка, в якій досягається локальний екстремум функції, називається точкою локального екстремуму. Приклад 16. Функція досягає у точці M0(2;3) локального мінімуму. Дійсно, , крім того для всіх і маємо і , а , тобто для всіх і . Отже, .
Теорема 2 (необхідні умови локального екстремуму). Якщо диференційована функція z=f(х;y), має в точці M0(x0;y0) локальний екстремум, то виконуються рівності:
. (10.46) Означення 24. Точки, в яких виконуються рівності (6.34), або в яких і не існують, називаються критичними або стаціонарними точками для функції z=f(х;y). Теорема 3 (достатні умови локального екстремуму). Нехай у точці M0(x0;y0) і деякому її околі функція z=f(х;y) має неперервні частинні похідні до третього порядку включно; нехай, крім того, . Позначимо і . Тоді: функція z=f(х;y) досягає в точці M0(x0;y0) локального максимуму, якщо ; функція z=f(х;y) досягає в точці M0(x0;y0) локального мінімуму, якщо ; функція z=f(х;y) не має в точці M0(x0;y0) локального екстремуму, якщо ; функція z=f(х;y) може мати і може не мати в точці M0(x0;y0) локального екстремуму, якщо ∆=0 (в цьому випадку потрібно провести додаткові дослідження). Приклад 17. Дослідити на екстремум функцію . Спочатку знайдемо критичні точки, для чого використаємо необхідні умови (6.34) локального екстремуму. Так як , то маємо систему рівнянь розв’язком якої є . Отже, точка – критична точка. Тепер перевіримо для цієї точки достатні умови локального екстремуму. Маємо і , а отже, в точці задана функція має локальний мінімум і . Приклад 18. Дослідити на екстремум функцію Знайдемо критичні точки, використовуючи необхідні умови локального екстремуму. . і, отже, маємо 2 критичні точки М1(0;0) і М2(1;1). Знайдемо частинні похідні другого порядку . умов локального екстремуму. і згідно з теоремою 3 у точці М1(0;0) задана функція локального екстремуму не має. Тепер розглянемо, чи виконуються достатні умови локального екстремуму у точці М2(1;1).
.
Згідно з теоремою 3 у точці М2(1;1) задана функція досягає локального мінімуму і . Приклад 19. Дослідити на екстремум функцію . Згідно з теоремою 2 необхідні умови існування локального екстремуму виглядять так:
. Розв’язком цієї системи рівнянь є Отже, критична точка М0(0;0). Знайдемо другі частинні похідні:
Тоді .
Згідно з теоремою 3 потрібні додаткові дослідження. Проведемо їх: а для всіх ; отже , тобто для всіх . Згідно з означенням 20 у точці М0(0;0) задана функція досягає локального максимуму і .
|