Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Похідна складеної функції
Похідна складеної функції Z = f (x, y), де x = x (t), y = y (t), t Î [ t 0, t 1] обчислюється за допомогою формули (4.17) Приклад 8. Знайти , якщо , Знайдемо Тоді Розглянемо більш складний випадок. Нехай Z = f (x, y), а x = x (u, v), (4.18) Приклад 9. Нехай . Знайти та . Знайдемо
Тоді за допомогою формул (4.18) отримаємо:
Формули (4.17), (4.18) можна узагальнити і для функцій з більшою кількістю змінних. Відповідним чином знаходяться диференціали складених функцій. Оскільки
то використовуючи формули (4.18) отримаємо:
Звідки (4.19) де
Формули (3.13) та (4.19) мають однаковий вигляд незалежно від того, будуть х та у незалежними змінними чи диференційованими функціями змінних u i v.
5. ПОХІДНА НЕЯВНОЇ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Неявні функції можна записати у вигляді:
(5.20)
Питання про існування та диференційованість неявної функції n змінних розв’язується аналогічно до того, як це було зроблено для функцій однієї змінної, де, як відомо, (5.21) Нехай задано рівняння F (x, y, z)=0. (5.22)
При знаходженні частинної похідної , або величина y вважається сталою. Тому з рівняння (5.22) за допомогою (5.21) дістанемо:
(5.23)
Для неявної функції (5.20) маємо:
i =1,2,…, n. (5.24) Приклад 10. Знайти частинні похідні та повний диференціал функції З умови отримаємо:
Звідси Тоді
Повний диференціал має вигляд:
.
6. ПОХІДНА ЗА НАПРЯМОМ
При розв’язанні багатьох прикладних задач використовується поняття скалярного поля. Це область простору, кожній точці якої поставлено у відповідність значення деякої скалярної величини. Прикладами скалярного поля може бути поле температур тіла, поле атмосферного тиску і т. д. Для того, щоб задати скалярне поле, досить задати скалярну функцію u (x, y, z). Поле називають стаціонарним, якщо воно не залежить від часу. Скалярне поле, яке змінюється з часом, називають нестаціонарним. Важливою характеристикою скалярного поля є швидкість змін поля в заданому напрямі. Нехай задано скалярне поле u = u (x, y, z). Візьмемо в ньому точку та вектор , який виходить з цієї точки. Напрям задамо за допомогою кутів які він утворює з додатними напрямами осей координат. Візьмемо точку яка лежить на прямій, що проходить через А в напрямі . Нехай відстань АВ дорівнює h. Тоді
та Звідси Обчислимо приріст функції u (x, y, z) при переході від А до В
. Означення 16. Якщо існує границя відношення при , то цю границю називають похідною функції u (x, y, z) в точці А за напрямом і позначають , тобто . (6.25) Зазначимо, що коли напрям співпадає з напрямом осі Оx (), то границя (6.25) дорівнюватиме частинній похідній функції u за змінною х у точці А. Аналогічно, якщо співпадає з , або , то формула (6.25) Величина визначає величину швидкості, а знак показує на зростання чи спадання величини u. Виведемо формулу для обчислення похідної за напрямом. Користуючись виразом де а також взявши отримаємо (6.26) Приклад 11. Обчислити похідну функції у точці А (1, 0, 2) у напрямку . На основі (6.26) обчислимо . Так Значення знайдемо з формул: Тоді
7. ГРАДІЄНТ ФУНКЦІЇ
Праву частину формули (6.26) можна розглядати як скалярний Означення 17. Вектор називають градієнтом функції в точці А і позначають Отже (7.27) Тоді (7.28) Нехай – кут між та , тоді . Звідси досягає максимального значення при . Таким чином
Це означає, що швидкість зростання скалярного поля в довільній точці є максимальною у напрямі градієнта. Приклад 12. В якому напрямі відбувається найбільше зростання температури у точці . Найбільше зростання скалярного поля відбувається у напрямі вектора-градієнта, що виходить з точки А. Знайдемо Маємо Тоді
8. ДОТИЧНА ПЛОЩИНА ТА НОРМАЛЬ ДО ПОВЕРХНІ Означення 18. Дотичною площиною до поверхні F(x;y;z)=0 у деякій її точці M0(x0;y0;z0), називається площина, яка містить усі дотичні прямі до кривих, що розташовані на даній поверхні і проходять через точку M0. Якщо дотична площина до поверхні F(x;y;z)=0 у точці M0(x0;y0;z0) існує, то її рівняння має вигляд:
. (8.29)
Означення 19. Нормаль до поверхні F(x;y;z)=0 у точці M0(x0;y0;z0) – це пряма лінія, яка проходить через точку M0(x0;y0;z0) і перпендикулярна дотичній площині до заданої поверхні у точці M0. Якщо нормаль до поверхні F(x;y;z)=0 у точці M0(x0;y0;z0) існує, то її рівняння мають вигляд:
(8.30) Приклад 13. Скласти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні у точці M0(3;4;-7). Запишемо рівняння поверхні у вигляді . Тоді F(x;y;z)= . Знайдемо частинні похідні цієї функції:
Згідно з формулою (8.29) рівняння дотичної площини має вигляд:
або .
Згідно з формулою (8.30) рівняння нормалі мають вигляд:
або
|