Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Повний диференціал функції багатьох змінних
Нехай функція z=f(х;y) має неперервні частинні похідні і у даній області, тоді її повний приріст ∆z у точці M(x;y) можна подати у вигляді:
, (3.11)
де і при і . Означення 14. Функція z=f(х;y) називається диференційованою у точці M(x;y), якщо її повний приріст ∆z у даній точці можна подати у вигляді суми двох додатків: величини , лінійної відносно ∆х і ∆y та величини , нескінченно малої вищого порядку відносно . Головна лінійна частина приросту називається повним диференціалом цієї функції і позначається dz або df (x;y):
. (3.12)
Означення 15. Прирости незалежний змінних ∆х і ∆y називаються диференціалами незалежних змінних х і y та позначаються dх і dy відповідно. Тоді повний диференціал (3.12) функції двох змінних має вигляд:
. (3.13)
Рівність (3.11), використовуючи (3.12), можна подати у вигляді:
. (3.14)
З точністю до нескінченно малої вищого порядку відносно можна записати наближену рівність: ∆z≈dz. (3.15)
Наближену формулу (3.15) запишемо у точці M0(x0;y0):
або (3.16)
Формулу (3.16) широко використовують у наближених обчисленнях. Приклад 6. Знайти повний диференціал функції . Спочатку знайдемо частинні похідні:
Використовуючи формулу (3.13), маємо
Приклад 7. Обчислити наближено . Розглянемо допоміжну функцію . Щоб скористатись формулою (3.16), покладемо , . Тоді:
Знайдемо частинні похідні:
За формулою (3.16) маємо:
Отже, .
|