Основные операции алгебры логики

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение:

(1) Операция, выражаемая словом " не ", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком). Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример: " Луна - спутник Земли " (А); " Луна - не спутник Земли " ().

(2) Операция, выражаемая связкой " и ", называется конъюнкцией (лат. conjunctio - соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " · " (может также обозначаться знаками ^ или &). Высказывание А · В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание

• "10 делится на 2 и 5 больше 3"

истинно, а высказывания

• "10 делится на 2 и 5 не больше 3",
• "10 не делится на 2 и 5 больше 3",
• "10 не делится на 2 и 5 не больше 3"

ложны.

(3) Операция, выражаемая связкой " или " (в неразделительном, неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio - разделение) или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание

• "10 не делится на 2 или 5 не больше3"

ложно, а высказывания

• "10 делится на 2 или 5 больше 3",
• "10 делится на 2 или 5 не больше 3",
• "10 не делится на 2 или 5 больше 3"

истинны.

(4) Операция, выражаемая связками " если..., то ", " из... следует ", " ... влечет... ", называется импликацией (лат. implico - тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание А В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В - ложно.

Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания? Покажем это на примере высказываний: " данный четырёхугольник - квадрат " (А) и " около данного четырёхугольника можно описать окружность " (В). Рассмотрим составное высказывание А В, понимаемое как " если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность ". Есть три варианта, когда высказывание А В истинно:

1. А истинно и В истинно, то есть данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;
2. А ложно и В истинно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);
3. A ложно и B ложно, то есть данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка " если..., то " описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смущаться "бессмысленностью" импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию. Например, такими:

• "если президент США - демократ, то в Африке водятся жирафы",
• "если арбуз - ягода, то в бензоколонке есть бензин".

(5) Операция, выражаемая связками " тогда и только тогда ", " необходимо и достаточно ", "... равносильно...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~. Высказывание А B истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

Например, высказывания

• "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3",
• "23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3"

истинны, а высказывания

• "24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5",
• "21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3"

ложны.

Высказывания А и В, образующие составное высказывание А В, могут быть совершенно не связаны по содержанию, например: " три больше двух?"(А), " пингвины живут в Антарктиде " (В). Отрицаниями этих высказываний являются высказывания " три не больше двух " (), " пингвины не живут в Антарктиде " (). Образованные из высказываний А, B составные высказывания A B и истинны, а высказывания A и B - ложны.

Итак, нами рассмотрены пять логических операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция.

Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.

Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания ("не"), затем конъюнкция ("и"), после конъюнкции - дизъюнкция ("или") и в последнюю очередь - импликация.