Выборка. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма

В математической статистике имеют дело со стохастическими экспериментами, состоящими в проведении n повторных независимых наблюдений над некоторой случайной величиной X ={x_i}=x₁, x₂, x_n, имеющей неизвестное распределение вероятностей, т.е. неизвестную функцию распределения F_x (х) = F (х).

В этом случае множество X возможных значений наблюдаемой случайной величины Х называют генеральной совокупностью, имеющей функцию распределения F (х).

Числа х₁,,…,x_n, x_i Î X, i = , являющиеся результатом n независимых наблюдений над случайной величиной X, называют выборкой из генеральной совокупности или выборочными (статистическими) данными. Число n называется объемом выборки.

В таблице 1 приведены обозначения параметров выборки для выборочных значений.

Таблица 1 – Параметры выборки

Выборка является исходной информацией для статистического анализа и принятия решений о неизвестных вероятностных характеристиках наблюдаемой случайной величины X. Однако на основе конкретной выборки обосновать качество статистических выводов невозможно. Для этих целей на выборку следует смотреть априори как на случайный вектор (Х ₁, …, X_n), координаты которого являются независимыми, распределенными так же как и X, случайными величинами, и который еще не принял конкретного значения в результате эксперимента. Существует несколько способов представления статистических данных. Простейший из них – в виде статистического ряда:

Если среди выборочных значений имеются совпадающие, то статистический ряд удобнее записывать в виде следующей таблицы 2.

Таблица 2 – Статистический ряд

Здесь (у₁, …,y_r) (r < n) – различные значения среди х₁, …,x_n; m_i –частота значения у_i, p_i *= m_i / n - относительная частота значения y_i. Очевидно, что

.

Совокупность пар называют иногда эмпирическим законом распределения, а саму таблицу 2 – таблицей частот. Выборочные значения х₁, …,x_n, упорядоченные по возрастанию, носят название вариационного ряда:

x_{(1 )} £ x₍₂₎£…£ x_(n),

где x ₍₁₎ =min{ x₁,…,x_n }, x _{( n )} =max{ x₁,…,x_n }.

Величина называется размахом выборки.

Эмпирической функцией распределения, соответствующей выборке х_1, …, x_n, называется функция

,

где I (A)–индикатор множества A, а – число выборочных значений, не превосходящих x. Для каждой выборки х₁, …, x_n функция F_n *(х) является неубывающей и непрерывной слева. Ее график имеет ступенчатый вид:

_- если все значения х₁, …, x_n различны, то F_n *(х)= i/n при x Î[ x _{( i ),} x _{( i+1 )}), x ₍₀₎ =- ¥, x _{( n+1 )} = ¥;

- если y₁, …,y_r –различные значения среди х₁, …,x_n, то .

Эмпирическая функция распределения F_n *(х) служит статистическим аналогом (оценкой) неизвестной функции распределения F (x), которую называют при этом теоретической. Если х₁, …, x_n – выборка объема n из генеральной совокупности, имеющей непрерывное распределение с неизвестной плотностью вероятностей f _x(x)= f (x), то для получения статистического аналога f (х) следует произвести группировку данных. Она состоит в следующем:

1. По данной выборке х₁, …, x_n строят вариационный ряд x ₍₁₎ £x ₍₂₎ £…£x _{( n ).}

2. Промежуток [ x ₍₁₎, x _{( n )}] разбивают точками u₀ = х ₍₁₎, u₁, …, u_L = x_(n): u₀ < u₁ <…< u_L на L непересекающихся интервалов J_k = [ u_k–1, u_k) (на практике L << n).

3. Подсчитывают частоты ν_k попадания выборочных значений в k -ый интервал J_k.

4. Полученную информацию заносят в таблицу, которую называют интервальным статистическим рядом (таблица 3).

Таблица 3 – Интервальный статистический ряд

Интервалы Jk	[ u0, u1)	[ u1, u2)	…	[ uL–1, uL ]
Частоты νk	ν1	ν2	…	νL
Относительные частоты	n1 / n	ν2 / n	…	nL / n

Очевидно, что . Поэтому совокупность пар

называют иногда эмпирическим законом распределения, полученным по сгруппированным данным. Далее в прямоугольной системе координат на каждом интервале J_k как на основании длины ∆ u_k = u_k – u_k-1 строят прямоугольник с высотой . Получаемую при этом ступенчатую фигуру называют гистограммой. Поскольку при больших n выполняется , то верхнюю границу гистограммы можно рассматривать как оценку неизвестной плотности f (x).

Ломаная с вершинами в точках называется полигоном частот и для гладких плотностей является более точной оценкой, чем гистограмма.

На практике при группировке данных обычно берут интервалы одинаковой длины ∆ u =соnst, а число интервалов группировки определяют с помощью так называемого правила Стаджерса, согласно которому полагается

L = [1+3,32 ln(n)]+1,

или следующими рекомендациями:

при n≥1000 L=11…15;

n≥400 L=10;

n≥200 L=9;

100<n<200 критерий применяют в исключительных случаях с числом интервалов L=7…9.

Если интервалы выбраны одинаковой длины, то ширина их равна .

Располагая только сгруппированными данными, можно определить аналог эмпирической функции распределения следующим образом:

.

Статистическим аналогом (оценкой) теоретической числовой характеристики

.

является выборочная (эмпирическая) числовая характеристика g *, определяемая как среднее арифметическое значений функции g (х) для элементов выборки х₁, …, x_n:

.

В частности, k -й выборочный момент есть величина

.

При k = 1 величину α * ₁ называют выборочным средним и обозначают :

.

При k =2 величину μ₂ * называют выборочной дисперсией и обозначают s ²:

.

Между выборочными начальными и выборочными центральными моментами сохраняются те же соотношения, что и между теоретическими. Например, справедливо равенство

,

являющееся аналогом известного равенства μ₂ = DX = α ₂– α₁² = М{X} ²–(М{X})². Для вычисления выборочных моментов k -го порядка по сгруппированным данным используются формулы:

.

В частности, выборочное среднее и выборочная дисперсия по сгруппированным данным определяются с помощью формул

.