Комбинация метода суперпозиций и метода отбора

Выражение (10) позволяет реализовать комбинированный метод, если каждую из плотностей f_i=(x) представить в виде:

f_i(x)=a_iω_i(x)g_i(x) (11)

где a_i – постоянные (),

ωi(x) – некоторые известные плотности вероятностей,

gi(x) – функция, которая для каждого x удовлетворяет условию 0≤g_i(x)≤1.

В результате для получения последовательности случайных чисел может быть использован следующий алгоритм:

а) реализация случайной величины Y по дискретному распределению p(Y=i)=p_i, i=0, 1, 2, …;

б) реализация случайной величины X по плотности вероятности ω_i(x) c параметром i, полученным в пункте (a). Эта часть алгоритма совпадает с методом суперпозиций. Затем следует использование метода отбора на основе представления плотности f_i(x) в виде формулы (11);

в) реализация случайной величины R, равномерно распределенной на интервале [0; 1);

г) если R<g_i(x), то считаем, что полученное в пункте (б) значение является одним из значений случайной величины X с плотностью f(x). В противном случае повторяем все вычисления, начиная с пункта (a).

Комбинация метода суперпозиций и метода отбора позволяет реализовать случайную величину практически с любым законом распределения.

Пример 8. Рассмотрим способ генерирования случайных чисел с нормальным законом распределения N(0;1), основанный на аппроксимации (3). Представим f(x) в виде следующей суммы:

f(x)=p₁ω₁(x)g₁(x)+p₂ω₂(x)g₂(x). (12)

Пусть

Для выполнения в (12) условия пронормируем p₁ и p₂. Вследствие этого в пункте (a) алгоритма реализация случайной величины Y будет выполняться с вероятностью р₁/(p₁ + p₂)=2/3 по плотности ω₁(x). Причем при R>g₁(Y) полученное значение случайной величины Y будет отбрасываться. С вероятностью р₂/(p₁ + p₂)=1/3 реализация случайной величины Y будет выполняться по плотности ω₂(x). Исключению будут подвергаться те выработанные числа, которые удовлетворяют условию R>g₂(Y). Реализуя случайную величину S, принимающую значения “+1” и “-1” с вероятностями 0.5, и вычисляя S·X, получают в итоге случайные числа, распределенные по N(0;1), -∞<x<∞.