Утверждение

Набор столбцов будет линейно зависимым тогда и только тогда, когда хотя бы один из столбцов будет линейно выражаться через остальные.

Доказательство:

Если столбцы линейно зависимы, рассмотрим их нетривиальную линейную комбинацию х1 А1 + … + хn An = 0

Пусть, например, х1 = 0, тогда

А1 = - х2/x1*A2 - x3/x1*A3 -... – xn/x1*An, т.е. А1 линейно выражается через остальные.

Замечание. Аналогично тому, как это сделано для столбцов, определяется линейная зависимость и независимость строк чисел.

Теорема. Рассмотрим определитель

а11 … а1n

= …

an1... ann

= 0 ó столбцы (и строки) определителя линейно зависимы

Доказательство:

Если = 0, система однородных уравнений

а11 х1 + … + а1n xn = 0

…

an1 x1 +… + ann xn = 0

имеет нетривиальное решение. А значит, столбцы определителя линейнозависимы.

Если столбцы линейно зависимы, то один (хотя бы) из столбцов линейно выражается через остальные. Вычтем из этого столбца эту линейную комбинацию остальных (т.е. его самого). Ввиду свойств определителя, определитель от этого не изменится. Однако, теперь появился столбец из нулей. Следовательно = 0.

Поскольку при транспонировании определитель не меняется, а строки становятся столбцами все сказанное для столбцов остается верным для строк определителя.