И независимость

Рассмотрим n столбцов чисел длины k

а11 a12 a1n

А1 = …; A2 = …; … An = ….

аk1 ak2 akn

Линейной комбинацией этих столбцов называется выражение вида:

х1 А1 + х2 А2 + … + хn An, где

х1, … хn – некоторые числа

Линейная комбинация называется тривиальной, если

х1 = 0

х2 = 0

…

хn = 0

Столбцы А1, … Аn называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих столбцов равная нулевому столбцу

0

О = …, т.е. х1 А1 + х2 А2 + … + хn An = 0, но не все числа х1, х2, …, хn равны

нулю.

Очевидно, что столбцы А1, … Аn будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда система однородных линейных уравнений

a11 х1 + … + а1n xn = 0

…

ak1 x1 +... + akn xn = 0

будет иметь нетривиальное решение.

Утверждение. Набор из n столбцов длины k будет линейно зависимым, если n > k.

Доказательство следует из предыдущего утверждения.

Таким образом, в линейно независимой системе из столбцов длины k может быть не больше k столбцов.

Пример:

1 0 0

Набор А1 = 0; А2 = 1; …. Аk = 0 линейно независим и содержит k

0 0 1

столбцов.

Действительно, равенствох1 А1 + … + хk Ak = 0

х1 = 0 x1

имеет место только при …, т.к. х1 А1 + … + хk Ak = ….

хk = 0 xk