В случае, когда матрица системы невырождена

Рассмотрим систему:

а11 х1 + а12 х2 + … + а1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2

........

an1 x1 + an2 x2 +... + ann xn = bn

Обозначим

a11... a1n

= … - определитель матрицы системы,

an1... ann

b1 a12... a1n

x1 = … - определитель, полученный из определителя

bn an2... ann

подменой 1-го столбца на столбец свободных членов

а11 b1... a1n

x2 = … - определитель, полученный из определителя подменой

an1 bn... ann

2-го столбца на столбец свободных членов

........

a11... a1,n-1 b1

хn = - определитель, полученный из определителя подменой

a1n... an,n-1 bn

n-го столбца на столбец свободных членов

Если = 0 система имеет единственное решение

х1 = х1/

x2 = x2/

.......

xn = xn/

Доказательство: Мы находимся в условиях, в которых применим метод обратной матрицы. Единственное решение системы тогда имеет вид:

х1

… = Х = B

хn 1 A11 … An1

Обратная матрица равна: = …

A1n... Ann

Поэтому

х1 1 A11 … An1 b1 1 b1 A11 +... + bn An1

… = B = … … = … =

хn A1n... Ann bn b1 A1n + … + bn Ann

1 x1 x1/

= … = …

xn xn/

Последнее упрощение можно проверить разложив определитель х1 по 1-му столбцу, определитель х2 по 2-му столбцу, и так далее.

Итак единственное решение этой системы имеет вид: х1 = х1/

…

xn = xn/

Пример: Решим систему

2х – 3y = -7

3x + 5y = -1

2 -3

= 3 5 = 19

-7 -3

x = -1 5 = -38

2 -7

y = 3 -1 = 19

x = x/ = - 38/19 = - 2

y = y/ = 19/19 = 1

х = - 2

Ответ: y = 1 - единственное решение системы.

Метод Крамера с вычислительной точки зрения чуть удобнее, чем метод обратной матрицы, тем, что даёт раздельные формулы для каждой неизвестной. Но по содержанию метод Крамера тождественен методу обратной матрицы.

Оба метода хороши тем, что дают ответ в виде законченных формул.

Следующий метод Гаусса не обладает этим достоинством, но зато является универсальным, применимым к любой системе линейных уравнений, точным методом.