Невырождена

В этом случае система имеет единственное решение

х1

.. = X = B.

хn

Доказательство: 1) Х = В удовлетворяет матричному уравнению АХ = В. Действительно, подставим это значение Х в уравнение:

А( B) = B,

(A )B = B,

I B = B,

B = B – верно

2) Предположим, что Х – любое решение матричного уравнения АХ = В.

Умножим слева это равенство на .

Получим (AX) = B,

( A)X = B,

I X = B,

X = B.

Таким образом всякое решение матричного уравнения совпадает с решением Х = B. Тем самым доказана единственность решения.

Пример: Решим систему

2х – 3y = -7

3x + 5y = -1

2 -3 -7 х

A = 3 5; В = -1; Х = y

1 5 3

19 -3 2

x 1 5 3 -7 1 -38 -2

y = Х = B = 19 -3 2 -1 = 19 19 = 1

х = - 2

Ответ: y = 1 - единственное решение системы.

Рассмотренный метод трудоёмок в случаях, когда уравнений (и неизвестных) больше 2-х. Метод не работает, если число уравнений не равно числу неизвестных, или когда матрица системы хотя и квадратна, но вырождена (тогда не существует ). Тем не менее, рассмотренный случай (число неизвестных = числу уравнений) является наиболее часто встречающимся, а запись единственного решения системы в виде Х = B является теоретически очень выразительной.

Выполнив умножение B, и записав результат с помощью определителей, получим метод Крамера.