Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y = f(x) ³ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу – осью Ох, сбоку прямыми x = a и x = b, называется криволинейной трапецией.

y

y = f(x)

0 x

Найдем площадь этой трапеции S.

Если функция f(x) ³ 0 на отрезке [a,b], тогда интегральная сумма

(1) геометрически представляет собой площадь ступенчатой фигуры S_n:

y

0 a c₁x₁ c₂x₂ x_i-1 c_i x_i x_n-1c_n b x

Площадь криволинейной трапеции S приближенно равна площади ступенчатой фигуры:

.

С уменьшением всех величин Dx_i точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличивается. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n при неограниченном возрастании n ® ¥ так, что l ® 0:

.

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.