Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) интегрируема на отрезке [ a, b ].

Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и F(x) какая-либо ее первообразная на этом отрезке (F¢ (x)= f(x)), то имеет место формула

(1).

Доказательство:

Точками разобьем отрезок [a, b] на n частичных отрезков

a=x₀ x1 x2 xi-1 xi b=x_n

Рассмотрим тождество: F(b) – F(a) = F(x_n) – F(x₀) = (F(x_n) – F(x_n-1)) + (F(x_n-1 – F(x_n-2)) +... +(F(x₁) – F(x₀)).

К каждой разности в скобках применим формулу Лагранжа: f(b) – f(a) = f¢ (c)×(b – a).

Получим:

F(b) – F(a) = F¢ (c_n)(x_n – x_n-1) + F¢ (c_n-1)(x_n-1 – x_n-2) +...+ F¢ (c₂)(x₂ – x₁) + F¢ (c₁)(x₁ – x₀) =

_{n n n}

å F¢ (c_i)(x_i – x_i-1) = å f(c_i)(x_i – x_i-1), т. е. F(b) – F(a) = å f(c_i)(x_i – x_i-1) (2), где c_i – некоторая ^{I=1 I=1 I=1}

точка интервала (x_i-1; x_i). Т. к. функция y = f(x) непрерывна на [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на отрезке [ a, b ].

Перейдем в равенстве (2) к пределу при n ® ¥ (l ® 0), получим , т. е. . Ч.т.д.

Равенство (1) называется формулой Ньютона-Лейбница.

_b

Разность F(b) – F(a) обозначают следующим образом: F(x) ç _a и формулу (1) в этом случае можно переписать

.

Формула (1) дает удобный способ вычисления определенного интеграла:

- надо найти первообразную подинтегральной функции – F(x);

- посчитать разность значений этой первообразной на концах отрезка [ a, b ] – F(b) – F(a).

Примеры.

1). ;

2). .