Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

Если интеграл непосредственно не вычисляется, то во многих случаях применяют метод интегрирования заменой переменной, заключающийся во введении новой переменной интегрирования (подстановки). При этом заданный интеграл приводится к другому интегралу, который является табличным или к нему сводится (в случае удачной подстановки). Общих методов подбора подстановки не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку x=φ(t), где φ(t) - непрерывная дифференцируемая функция. Тогда и на основании свойства инвариантности формулы неопределенного интеграла получаем:

Т.е. (1) - формула замены переменных в неопределенном интеграле.

После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной x.

Иногда удобно подбирать подстановку в виде , тогда , где .

Т.е. формулу (1) можно применять справа налево.

Примеры:

1)

2)

3)

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе.

Рассмотрим интегралы:

I) и II)

Для вычисления этих интегралов выполняем следующие действия:

1) выписываем квадратный трехчлен и выражаем из него полный квадрат.

2) произведем замену переменной и получим квадратный двучлен в знаменателе, т.е. сведем интеграл к одному из 4-ех примеров из §3.

Примеры:

1)

2)