Основные свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

, где k = Const и f(x) – функция, интегрируемая на [a, b].

Доказательство.

Составим интегральную сумму для функции kf(x): , тогда .

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций, интегрируемых на [a, b], равен сумме интегралов от этих функций:

.

Доказательство.

3. Если поменять местами пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:

.

Это свойство можно доказать по определению определенного интеграла (аналогично свойствам 1 и 2). Оно подтверждается формулой Ньютона-Лейбница:

.

4. Определенный интеграл по всему отрезку интегрирования равен сумме интегралов по частям этого отрезка (аддитивность определенного интеграла):

Доказательство.

При разбиении отрезка [ a, b ] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать, т.к. интегральная сумма не зависит от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части). Если c = x_m, то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

. (*)

Каждая из сумм в равенстве (*) является интегральной суммой функции f(x) соответственно для отрезков [ a, b ], [ a, с ] и [с, b ]. Переходя к пределу в равенстве (*) при n ® ¥ (l®0), получим .

1. Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то существует такая точка c Î (a, b), что .

Доказательство.

По формуле Ньютона-Лейбница имеем , где F¢(x) = f(x). Применяя к разности F(b) – F(a) формулу Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b) – F(a) = F¢(c)×(b – a) = f(c)×(b – a).

Геометрический смысл теоремы о среднем: Если f(x) ³ 0, то значение определенного интеграла равно площади прямоугольника с высотой f(c) и основанием b – a, где c Î (a, b).

y

y = f(x)

a 0 c b

Число называется средним значением функции f(x) на отрезке [ a, b ].

6. Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [ a, b ] (a < b), то интеграл

имеет тот же знак, что и функция.

Доказательство.

Пусть f(x) ³ 0 на отрезке [ a, b ], тогда по теореме о среднем , где c Î (a, b). Но, т.к. f(x) ³ 0 при " x Î [ a, b ], то и f(с) ³ 0 и b – a > 0, поэтому f(c)(b – a) ³ 0.

1. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [ a, b ] (a < b) можно интегрировать ( в отличие от дифференцирования – дифференцировать неравенства нельзя).

Например, если f₁(x) £ f₂(x) при " x Î [ a, b ], то

Доказательство.

Т.к. f₂(x) – f₁(x) ³ 0 (при a < b), то по свойству 6, имеем или по свойству 2: , т.е. .

8. Теорема Барроу. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подинтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е.

Доказательство.

По формуле Ньютона-Лейбница имеем Следовательно:

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подинтегральной функции. Действительно, если обозначить , то F ¢(x) = f(x), то очевидна справедливость формулы , которая выражает связь между определенным и неопределенным интегралами.