Понятие неопределенного интеграла

ГЛАВА 7. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Понятие неопределенного интеграла

В дифференциальном исчислении решается задача:

По данной функции F(x) найти её производную (или дифференциал):

F’(x) или dF(x) = F’(x)dx.

В интегральном исчислении решается обратная задача:

Найти функцию F(x), зная её производную F’(x) = f (x) или дифференциал

dF(x) = f (x)dx.

Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

Прямая задача:

Обратная задача:

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (а,b), если для любого выполняется условие F’(x)=f(x) (или dF(x)=f(x)dx) (1)

Например: 1)

2)

3)

Очевидно, что если F(x) – первообразная для функции f(x) на интервале (a,b), то функция F(x) + C, где C=const, также первообразная для функции f(x) на этом же интервале: .

Отсюда следует, что если функция f(x) имеет хотя бы одну первообразную на интервале (a,b), то она будет иметь б/м первообразных на этом интервале.

Можно показать, что справедлива следующая теорема:

Теорема. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на интервале (a,b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(x) + C, где C - константа.

Доказательство:

Пусть Ф(x) некоторая другая, отличная от F(x) первообразная функции f(x), т.е. Ф’(x) = f(x). Тогда для всех имеем (Ф(x) – F(x))’= Ф’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 Ф(x) – F(x) = C, где С – константа.

Следовательно: Ф(x) = F(x) + C ч.т.д.

Определение. Множество всех первообразных для функции f(x) F(x) + C называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается

- знак интеграла

f(x) – подинтегральная функция

f(x)dx – подинтегральное выражение

х – переменная интегрирования

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых y = F(x) + C.

График каждой первообразной называется интегральной кривой.

Например,

y c₁=1

Y=sinx+1

1 c=0

0 x

Y=sinx

-1

c₂=-1

Y=sinx-1

Замечание:

Для всякой ли функции существует неопределенный интеграл?

Имеет место теорема, утверждающая, что «всякая непрерывная на (a,b) функция имеет на этом интервале первообразную», а, следовательно, и неопределенный интеграл.

Итак, , где F’(x) = f (x) и dF(x) = f (x)dx..

Из этого определения неопределенного интеграла вытекают следующие свойства: