Производная по направлению, градиент функции.

Частные производные функции y=f(x₁,x₂..x_n) по переменным x₁, x₂... x_n выражают скорость изменения функции по направлению координатных осей. Например, есть скорость изменения функции по х₁ – то есть предполагается, что точка, принадлежащая области определения функции, перемещается лишь параллельно оси ОХ_{1 ,} а все остальные координаты остаются неизменными. Однако, можно предположить, что функция может изменяться и по какому-нибудь другому направлению, не совпадающему с направлением какой либо из осей.

Рассмотрим функцию трех переменных: u=f(x,y,z).

Зафиксируем точку М₀(x₀,y₀,z₀) и какую-нибудь направленную прямую (ось) l, проходящую через эту точку. Пусть М(x,y,z) - произвольная точка этой прямой и ê М₀М ê- расстояние от М₀ до М.

Du = f (x,y,z) – f(x₀,y₀,z₀) – приращение функции в точке М₀.

Найдем отношение приращения функции к длине вектора :

Определение. Производной функции u = f (x,y,z) по направлению l в точке М₀ называется предел отношения приращения функции к длине вектора ê М₀М ê при стремлении последнего к 0 (или, что одно и то же, при неограниченном приближении М к М₀):

(1)

Эта производная характеризует скорость изменения функции в точке М₀ в направлении l.

Пусть ось l (вектор М₀М)образует с осями OX, OY, OZ углы соответственно.

Обозначим x - x₀ = ;

y - y₀ = ;

z - z₀ = .

Тогда вектор М₀М = (x - x₀, y - y₀, z - z₀)= и его направляющие косинусы:

;

;

.

Отсюда получаем следующие выражения для Dx, Dy, Dz:

(2)

Полное приращение функции в точке М₀:

можно представить в виде:

(3), где

Подставим выражения (2) в (3):

Найдем отношение :

Перейдем к пределу при ê М₀М ê ® 0:

(4).

(4) – формула для вычисления производной по направлению.

Конечно, направление может быть задано просто соответствующим вектором. Рассмотрим вектор, координатами которого являются частные производные функции u=f(x, y, z) в точке М₀:

grad u - градиент функции u=f(x, y, z) в точке М(x, y, z)

Рассмотрим единичный вектор по направлению l - - это вектор, длина которого равна 1,а направление совпадает с направлением оси l.

Тогда производная функции u=f(x, y, z) по направлению l может быть представлена как скалярное произведение():

.

Следовательно, производная функции u=f(x, y, z) по данному направлению l есть скалярное произведение градиента функции на единичный вектор этого направления.

Пусть j - угол между grad u и l, тогда:

(5).

Производная функции u=f(x, y, z) по направлению l равна проекции вектора grad u на ось l.

Свойства градиента:

1. Производная функции u=f(x, y, z) в данной точке М(x, y, z) по направлению l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента функции в этой точке.
2. Наибольшее значение производной функции u=f(x, y, z) по заданному направлению в данной точке М(x, y, z) равно длине градиента функции в этой точке: .

Вывод: длина градиента функции u=f(x, y, z) – есть наиболее возможное значение в данной точке М(x, y, z), а направление вектора grad u совпадает с направлением вектора, выходящего из точки М, вдоль которого функция меняется быстрее всего. То есть, направление градиента функции grad u - есть направление наискорейшего возрастания функции.

§6. Частные производные высших порядков.

Частные производные , i = 1,2,...,n называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от X=(x₁,x₂,... x_n) . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

(1),

где i = 1, 2,..., n и k = 1, 2,..., n.

Если i ¹ k, то частная производная (1) называется смешанной частной производной второго порядка. Если i = k, то частная производная второго порядка обозначается следующим образом:

(2).

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков.

Функция y = f (x₁,x₂…x_n) называется m раз дифференцируемой в точке М₀(x₁⁰, x₂⁰...,x_n⁰), если все её частные производные (m-1) -го порядка являются дифференцируемыми функциями в этой точке.

Пример:

Найти частные производные второго порядка функции: z= x³ - x²y³ + x + y⁴.

z^’_x = 3x² - 2xy³ + 1; z^’_y= - x²3y² + 4y³;

z^’_xx = 6x - 2y³; z^’’_yx = - 2x3y² = - 6xy²;

z^’’_xy= - 2x3y² = - 6xy²; z^’’_yy= -x²6y +12y².

Оказалось, что z^’’_xy = z^’’_yx. Это не случайно.

Имеет место следующая теорема (без доказательства).

Теорема Шварца

Если функция y = f (X) дифференцируема m раз в точке M (x₁, x₂ .. x_n), то смешанные производные m- го порядка в этой точке, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для функции z = f (x,y) имеем .