Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
П.1 Определение и необходимые условия локального экстремумаПусть функция y = f (X) определена на некотором множестве , а M0 (x10,x20 .. xn0) – некоторая точка этого множества. Определение. Функция y = f(X) имеет в точке М0 локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки М0 , что для любой точки М(x1,x2.. xn) из этой окрестности выполняется неравенство . Так же, как и в случае функции одной переменной, точка М0 называется критической точкой функции y = f(X), если все частные производные функции в этой точке равны нулю или какая-нибудь из них не существует. Точка М0 называется стационарной точкой функции, если она есть внутренняя точка области определения и все частные производные функции в этой точке равны нулю. Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции многих переменных): Если функция y = f(x1, x2,...,xn) имеет во внутренней точке М0(x10,x20.. xn0) экстремум и частные производные первого порядка, то все эти частные производные равны нулю в точке М0:
Доказательство: Зафиксируем значения всех переменных xi в точке М0, кроме переменной xk. Тогда получим, что функция y = f (x10,x20.. xk,…xn0) = j(xk) - зависит от одной переменной xk и в точке xk = xk0 имеет экстремум. Но тогда, по необходимому признаку существования экстремума функции одной переменной, производная этой функции, которая и является частной производной функции y в точке М0, равна нулю: . Ч.т.д. Итак, «подозрительными» на экстремум являются те точки, в которых все частные производные равны нулю или какая-нибудь из них не существует; в случае, если функция всюду имеет частные производные, то координаты этих точек можно найти, решив систему уравнений: (2).
Пример 1. Найти экстремум функции z = x2+(y - 1)2. Решение. Найдя частные производные данной функции и приравняв их к нулю, получаем:
Поскольку при всех (x,y), то ясно, что точка М0 (0;1) – точка минимума. Отметим, что условия (1) или (2) не являются достаточными условиями экстремума. Например, для функции z = x2 - y2 частные производные равны нулю в точке О (0,0): . Но, в этой точке функция не имеет экстремума: f(0,0) = 0, но в любой окрестности точки О (0,0) есть значения функции z > 0 и z < 0.
|