Пример 13.6. Приложение метода хорд к задаче оптимального раскроя бревна на брус.

W(l)=(l/2)(d_k -(d_k-d_o)l/l_o)² ® max,

где

l_o=0,10,

d_k =0,22,

d_o =0,12

в интервале 5£l£9 (см. пример 3.3) при e=0,0001.

W’(l) = dW(l)/dl = 0,0242 – 0,0044 l + 0,00015 l².

Итерация 1.

Шаг 1. W’(5)=0,00595, W’(9) = -0,00325, N=9, P=5.

Шаг 2. R=5-{(0,00595*(5-9))/(0,00595+0,00325)}=7,587.

Шаг 3. W’(7,587)= -0,00055<0; |W’(7,587)| ³ 0,0001, положить N=7,587.

Итерация 2.

Шаг 2. R=5-{(0,00595*(5-7,587))/(0,00595+0,00055)}=7,368.

Шаг 3. W’(7,368)= -0,000076<0; |W’(7,368)| £ 0,0001, решение l^*=7,368, при котором W^*(7,368)= 0,0789, найдено с заданной точностью.

Метод касательных

Сущность метода. Ориентирован на нахождение корня уравнения W’(x) в интервале [a,b], в котором имеются две точки N и P, в которых знаки производных различны (рис.13.4). Работа алгоритма начинается из точки x_o, которая представляет начальное приближение корня уравнения W’(x)=0. Далее строится линейная аппроксимация функции W’(x) в точке x₁, и точка, в которой аппроксимирующая линейная функция обращается в нуль, принимается в качестве следующего приближения. Если точка x_k принята в качестве текущего приближения к оптимальной точке, то линейная функция, аппроксимирующая функцию W’(x) в точке x_k, записывается в виде

W’(x,x_k) = W’(x_k) + W’’(x_k)(x-x_k). (13.4)

Приравняв правую часть уравнения к нулю, получим следующее приближение к искомой точке:

Рис. 13.4. Схема метода касательных

Шаг 1. Следующее приближение к стационарной точке x^* определяется по формуле:

x_k+1 = x_k - [W’(x_k)/W’’(x_k)].

Шаг 2. Вычислить W’(x_k+1), W’’(x_k+1)

Шаг 3. Если |W’(x_k+1)| < e, то закончить поиск. В противном случае необходимо вернуться к шагу 1.

Как явствует из алгоритма, целевая функция W(x) должна быть

дважды дифференцируема.

Пример 13.7. Приложение метода касательных к задаче оптимального раскроя бревна на брус.

W(l)=(l/2)(d_k -(d_k-d_o)l/l_o)² ® max,

где

l_o=0,10,

d_k =0,22,

d_o =0,12

в интервале 5£l£9 (см. пример 3.3) при e=0,0001.

W’(l) = dW(l)/dl = 0,0242 – 0,0044 l + 0,00015 l².

W’’(l) = dW’(l)/dl = – 0,0044 + 0,0003 l.

Итерация 1.

Шаг 1. l₁=5; W’(5)=0,00595, W’’(5) = -0,0029, l₂=5-(0,00595/-0,0029)=7,052;

Шаг 2. |W’(7,052)|= 0,000631³ 0,0001.

Итерация 2.

Шаг 1. l₁=7,052; W’(7,052)= 0,000631, W’’(7,052) = -0,00228,

l₃=7,052-(0,000631/-0,00228)=7,329;

Шаг 2. |W’(7,329)|= 0,00000954£ 0,0001, решение l^*=7,329, при котором W^*(7,329)= 0,0789, найдено с заданной точностью.