Пример 13.5. Приложение метода средней точки к задаче оптимального раскроя бревна на брус.

W(l)=(l /2)(d_k -(d_k-d_o) l / l _o)² ® max,

где

l _o=0,10,

d_k =0,22,

d_o =0,12

в интервале 5£ l £9 (см. пример 3.3) при e=0,0001.

W’(l) = dW(l)/d l = 0,0242 – 0,0044 l + 0,00015 l ².

Итерация 1.

Шаг 1. W’(5)=0,00595, W’(9) = -0,00325, N=9, P=5.

Шаг 2. R=(9+5)/2=7.

Шаг 3. W’(7)=0,00075>0; |W’(7)| ³ 0,0001, положить P=7.

Итерация 2.

Шаг 2. R=(9+7)/2=8.

Шаг 3. W’(8)=-0,0014<0; |W’(7)| ³ 0,0001, положить N=8.

Итерация 3.

Шаг 2. R=(8+7)/2=7,5.

Шаг 3. W’(7,5)=-0,00036<0; |W’(7,5)| ³ 0,0001, положить N=7,5.

Итерация 4.

Шаг 2. R=(7,5+7)/2=7,25.

Шаг 3. W’(7,25)=0,000184>0; |W’(7,25)| ³ 0,0001, положить Р=7,25.

Итерация 5.

Шаг 2. R=(7,25+7,5)/2=7,375.

Шаг 3. W’(7,375)= -0,000091<0; |W’(7,375)| £ 0,0001, решение l ^*=7,375 при котором W^*(7,375)= 0,0789 найдено с заданной точностью.

Метод хорд

Сущность метода. Ориентирован на нахождение корня уравнения W’(x) в интервале [a,b], в котором имеются две точки N и P, в которых знаки производных различны. Алгоритм метода хорд позволяет аппроксимировать функцию W’(x) “хордой” и найти точку, в которой секущая графика W’(x) пересекает ось абсцисс (рис. 13.1).

Шаг 1. Следующее приближение к стационарной точке x^* определяется по формуле

R = P - . (13.3)

Шаг 2. Вычислить W’(R).

Шаг 3. Если |W’(R)| < e, то закончить поиск. В противном случае необходимо выбрать одну из точек P или N, чтобы знаки производных в этой точке и точке R были различны. Вернуться к шагу 1.

Как видно из алгоритма, метод хорд реализован на исследовании как знака производной, так и ее значении. Поэтому он более эффективен, чем метод средней точки.

Рис. 13..3. Схема метода хорд