Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с² – а² = b²:

Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Пример. Найти уравнение гиперболы, вершины и фокусы которой находятся в соответствующих вершинах и фокусах эллипса .

Для эллипса: c² = a² – b².

Для гиперболы: c² = a² + b².

Уравнение гиперболы: .

Пример. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c² = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c² = a² + b² = 16, e = c/a = 2; c = 2a; c² = 4a²; a² = 4;

b² = 16 – 4 = 12.

Итого: - искомое уравнение гиперболы.

6.4. Парабола.

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

у

А М(х, у)

О F x

p/2 p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.

Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;

MF² = y² + (x – p/2)²

(x + p/2)² = y² + (x – p/2)²

x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4

y² = 2px

Уравнение директрисы: x = -p/2.

Пример. На параболе у² = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4.

Из уравнения параболы получаем, что р = 4.

r = x + p/2 = 4; следовательно:

x = 2; y² = 16; y = ±4. Искомые точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

Пример. Дана парабола у² = 6х. Составить уравнение ее директрисы и найти ее фокус.

Сравнивая данное уравнение с каноническим уравнением параболы, видим, что 2p=6, p = 3. Так как уравнение директрисы имеет уравнение х = , а фокус – координаты , то для рассматриваемого случая получим уравнение директрисы х = и фокус F .

Ответ: х = , F .

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определение линии второго порядка.

2. Какие линии второго порядка вы знаете?

3. Выведите уравнение окружности с центром в точке и радиусом .

4. Дайте определение эллипса.

5. Какую форму имеет эллипс? Укажите на рисунке и назовите его основные элементы.

6. Что представляет собой эллипс, если его полуоси равны?

7. Дайте определение параболы.

8. Какую форму имеет парабола, определяемая уравнением , или ? Как влияют параметры и на форму параболы?

9. Что представляет собой на графике в системе координат Ox линия, заданная уравнением ?

10. Дайте определение гиперболы.

11. Какую форму имеет гипербола? Укажите на рисунке и назовите ее основные элементы.

12. Напишите уравнения асимптот гиперболы.

13. Напишите уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой являются оси координат.

14. Приведите примеры использования уравнений линий второго порядка для изучения конкретных зависимостей.