Сложение и вычитание

Рассмотрим два комплексных числа, заданных в общем виде

z₁ = a₁+ib₁; z₂=a₂+ib₂

тогда

Можно сформулировать правило сложения и вычитания комплексных чисел: при сложении (вычитании) комплексных чисел соответственно складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части.

Умножение

z=z₁z₂=(a₁+ib₁)(a₂+ib₂) =a₁a₂+ia₁b₂+ib₁a₂+i²b₁b₂=a+ib

z=z₁z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+ i (a₁b₂+b₁a₂)

(т.е. можно говорить, что перемножаются комплексные числа как многочлены, учитывая, что i² = -1). Значит, чтобы перемножить два комплексных числа необходимо перемножить их как многочлены, учитывая, что i² = -1.

Деление

При выполнении деления комплексных чисел пользуются искусственным приёмом: числитель и знаменатель дроби умножают на число, комплексно - сопряженное знаменателю дроби, и поступают далее так, как и при умножении комплексных чисел.

Пример.

z₁= 5-i;

z₂=-2+3i;

Введенные нами операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

1) Переместительное свойство:

z₁+z₂=z₂+z_1;

z₁*z₂=z₂*z₁;

2) Сочетательное свойство:

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

(z₁*z₂)*z₃ = z₁ *(z₂*z₃)

3) Распределительное свойство:

z₁*(z₂ + z_з) = z₁*z₂ + z₁*z₃

4) Для любого комплексного числа существует число ему противоположное, такое, что z + (- z) = 0.

Возведение в степень

Согласно определению степени числа, необходимо это число умножить на себя столько раз, каков показатель степени числа. Эти правила вам известны из курса средней школы. Они же остаются справедливыми и для комплексных чисел. С одной лишь разницей в том, что основанием степени здесь выступает не одночлен, а двучлен. Для показателей степени 2 и 3 существуют формулы, известные вам как формулы сокращённого умножения: квадрат суммы (разности); куб суммы (разности); разность (сумма) кубов. Убедимся, как можно возводить комплексное число в степень, пользуясь формулами сокращенного умножения.

Найти куб разности комплексного числа:

(3–2i)³ = 3³-3*3²*2i+3*3*(2i)² – i³ = 27-54i+ 36i²- i³=-9-54i+i=-9-54i-i*i²=-9-54i+i=-9-53i

При выполнении этого действия мы учли, что

i² =-1;

i³=i*i²=i*(-1) =-i

Если же нам необходимо, например, найти (2+5i)²¹, то cогласно определению степени мы должны эту скобку умножить саму на себя 21 раз, что очень трудоёмко. Поэтому прибегают к другой форме записи числа – тригонометрической и в ней выполняют это действие. Но об этом мы поговорим немного позже.

Извлечение корня из комплексного числа

Т. к. комплексное число в алгебраической формеимеет вид z=a+ib; то извлекать из него корень какой - либо степени мы не можем, т.к. нельзя извлечь корень из суммы.

Таким образом, подводя итог действиям над комплексными числами в алгебраической форме, заключаем, что извлекать корень любой степени из комплексных чисел в алгебраической форме нельзя; возводить в любую степень можно, но если показатель степени больше 3, то рациональнее перевести число в тригонометрическую форму и возводить в степень число в этой форме. Все остальные действия выполняются по ранее отмеченным правилам.

Беседуя о комплексных числах, необходимо отметить такое важное понятие, как цикличность мнимой единицы. Заключается оно в следующем:

i²= –1(определение);

i³=i*i²=i (-1)=-i;

i⁴ = i²*i² =(-1)*(-1) =1;

i⁵=i*i⁴=i*1=i.