Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Кривая второго порядка может быть задана уравнениемАх2 + 2Вху + Су2 + 2Dx + 2Ey + F = 0. Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже. 1) - уравнение эллипса. 2) - уравнение “мнимого” эллипса. 3) - уравнение гиперболы. 4) a2x2 – c2y2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых. 5) y2 = 2px – уравнение параболы. 6) y2 – a2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых. 7) y2 + a2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых. 8) y2 = 0 – пара совпадающих прямых. 9) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 – уравнение окружности.
6.1. Окружность.
Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). В окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b). Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0. Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты: x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0 x2 – 4x + 4 –4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0 (x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16 Отсюда находим О(2; -5/4); R = 11/4.
6.2. Эллипс.
Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а. Уравнение эллипса имеет вид: Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина. у М r1 r2 F1 O F2 х
F1, F2 – фокусы. F1 = (c; 0); F2(-c; 0) с – половина расстояния между фокусами; a – большая полуось; b – малая полуось. Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением: a2 = b2 + c2. Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r1 + r2 = 2 (по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r1 + r2 = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r1 + r2 – постоянная величина, то, приравнивая, получаем: a2 = b2 + c2 r1 + r2 = 2a. Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом. Е = с/a. Т.к. с < a, то е < 1. Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса. Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – e2. Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность. Если для точки М(х1, у1) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса. С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a/e; x = -a/e. Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е. Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: 1) Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4. 2) Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0). 3) Уравнение прямой, проходящей через две точки: Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2. Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом, a2 – b2 = c2 = ½ по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = Итого: .
6.3. Гипербола.
Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, равная 2а, меньшая расстояния между фокусами. По определению ïr1 – r2ï= 2a. F1, F2 – фокусы гиперболы. F1F2 = 2c.
y
M(x, y) b r1 r2 x
F1 a F2
c
Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда: обозначим с2 – а2 = b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)
Получили каноническое уравнение гиперболы. Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.
|