II. Способ наименьших квадратов

Коррелатный способ уравнивания

Условные уравнения

Пусть измерено n величин у₁, у₂,..., у_n с весами р₁, р₂,..., р_n.

Обозначим t - число необходимых измерений;

r = n - t (1)

r - число избыточных измерений.

Истинные значения измеренных величин Y_i связаны между собой уравнениями:

Ф _j(Y₁, Y₂,..., Y_n) = 0, (j = 1, 2,..., r). (2)

Уравнения, выражающие математическую связь между истинными значениями измеренных величин, называются условными уравнениями связи. В систему включают только независимые уравнения в количестве r = n - t, (r < n). Если число уравнений будет больше r, появятся зависимые уравнения и задача уравнивания станет неопределенной. Если число уравнений окажется меньше r, после уравнивания останутся невязки.

Подстановка в уравнения (2) результатов измерений приводит к системе:

Ф_j (y₁, y₂,..., y_n) = w_j, (j = 1, 2,..., r), (3)

в которой невязки w_j являются истинными ошибками соответствующих функций Ф_j.

Для устранения невязок отыскивают поправки v_i к результатам измерений из решения системы

Ф _j(y₁ + ν₁, y₂ + ν₂,..., y_n + ν_n) = 0, (j = 1, 2,..., r) (4)

под условием CНК

[ pv² ] = min. (5)

Условные уравнения (4) могут иметь нелинейный вид. Способов решения систем нелинейных уравнений произвольного вида не существует. Чтобы решить задачу, функции (4) приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора. Полагая, что ν_i << y_i, рассматривают поправки ν_i, как приращения аргументов y_i. Функции Ф_j должны быть дифференцируемы.

Ф_j (y₁ + ν₁, y₂ + ν₂,..., y_n + ν_n) = Ф_j (y₁, y₂,..., y_n) +

Нелинейными членами разложения (остатком R) пренебрегают.

Обозначают:

Ф_j (y₁, y₂,..., y_n) = w_j

- невязки - свободные члены условных уравнений поправок;

- коэффициенты условных уравнений поправок - частные производные от функций Ф_j, вычисляемые по результатам измерений.

(6)

- система условных уравнений поправок или в матричном виде:

А_rnV_n1 + W_r1 = 0. (7)

Здесь - матрица коэффициентов;

- вектор поправок к результатам измерений;

- вектор невязок.

Весовая функция

Для оценки точности уравненных величин составляют весовую функцию. Это математическое выражение оцениваемой величины (координаты, отметки и т.п.) в виде функции уравненных результатов измерений

F = F (y₁ + ν₁, y₂ + ν₂,..., y_n + ν_n). (8)

Весовую функцию приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора

Обозначают

F (у₁, у₂,..., у_n) = f₀ - постоянная (не вычисляется).

- коэффициенты функции.

F = f₀ + f₁ν₁ + f₂ν₂ +... + f_nν_n = f₀ + F_1n^ТV_n1. (9)

- весовая функция в линейном виде,

где - вектор коэффициентов функции.