Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Средняя квадратическая ошибка простойАрифметической средины Дан ряд результатов равноточных измерений одной величины x 1, x 2 ,..., x. Представим формулу для вычисления простой арифметической средины в виде ` x = (1.56) Согласно (1.47) будем иметь (1.57) где m 1 = m 2 =... = m n = m. Следовательно, равенство (1.57) примет следующий вид и окончательно запишем (1.58) Итак, средняя квадратическая ошибка простой арифметической средины в корень квадратный раз из числа измерений меньше средней квадратической ошибки одного измерения. Формула Бесселя Выполнив n повторных измерений одной и той же величины, вычислим отклонения результатов этих измерений от арифметической средины Получим формулу для оценки точности результата измерения через отклонения от арифметической средины, но предварительно рассмотрим свойства отклонений vi [ 2 ]. Первое свойство. Алгебраическая сумма отклонений результатов равноточных измерений одной и той же величины от простой арифметической средины равна нулю при любом числе измерений. (1.59) Суммируя левую и правую части равенства (1.59), получим Полученное равенство разделим на n . (1.60) Поскольку правая часть равенства (1.60) равна нулю, то и [n] = 0. Второе свойство. Сумма квадратов отклонений результатов равноточных измерений от простой арифметической средины меньше суммы квадратов отклонений этих же результатов от любой другой величины, не равной простой арифметической средины, т.е. если x¢ ¹ ` x, то [ vv ] < [ ee ], (1.61) где vi = xi - ` x, ei = xi - x¢. Докажем второе свойство отклонений vi алгебраическим путем. Вычтем vi из ei по частям: из правого равенства левое ei - vi = xi - x¢ - xi + ` x = ` x - x¢ = c. (1.62) Для n числа наблюдений получим ряд отклонений ei e 1 = v 1 + c, e 2 = v 2 + c, (1.63) ......... en = vn + c. Возведем в квадрат равенства (1.63) и, суммируя левую и правую части, получим [ ee ] = [ vv ] + nc 2 + 2 c [ v ]. (1.64) Но член 2 c [ v ] = 0 по первому свойству отклонений vi, тогда [ ee ] = [ vv ] + nc 2. (1.65) Из формулы (1.65) следует, что [ ee ] > [ vv ] на положительное число nc 2, вне зависимости от того, x¢ больше` x, или меньше. Таким образом, при x¢ ¹ x [ vv ] < [ ee ], (1.66) что и требовалось доказать. Для решения поставленной в начале данного параграфа задачи определим связь между истинными ошибками D i и отклонениями vi. Напишем D i = xi - X; vi = xi - . Cоставим разность . (1.67) Возведем в квадрат равенства (1.67) и почленно просуммируем . (1.68) Согласно первому свойству отклонений имеем . (1.69) В равенстве (1.69) левая часть согласно формуле Гаусса равна . (1.70) Разность данного равенства соответствует средней квадратической ошибке значения среднего арифметического из результатов измерений, т.е. равна М. Тогда с учетом вышеизложенного получим вместо равенства (1.69) следующее или . Откуда средняя квадратическая ошибка результата измерения составит . (1.71) Средняя квадратическая ошибка вычисления ошибки согласно формуле (1.71) равна . (1.72)
|