Касательная к графику дифференцируемой в точке xо функции f — это прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х0).

Проведем касательные к графику функции f в точках x₁, х₂, х₃ (рис. 3) и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.) Мы видим, что угол α₁ острый, угол α₃тупой, а угол α₂ равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен, tg 0 = 0. Поэтому

f'(x₁)>0, f’(x₂)=0, f’(x₃)<0.

Построение касательных в отдельных точках позволяет более точно строить эскизы графиков. Так, например, для построения эскиза графика функции синус предварительно находим, что в точках 0; π/2 и π производная синуса равна 1; 0 и -1 соответственно. Построим прямые, проходящие через точки (0; 0), (π/2,1) и (π, 0) с угловыми коэффициентами 1, 0 и -1 соответственно (рис. 4) Остается вписать в полученную трапецию, образованную этими прямыми и прямой Ох, график синуса так, чтобы при х, равном 0, π/2 и π, он касался соответствующих прямых.

Отметим, что график синуса в окрестности нуля практически не отличим от прямой у = х. Пусть, например, масштабы по осям выбраны так, что единице соответствует отрезок в 1см. Имеем sin 0,5 ≈ 0,479425, т. е. |sin 0,5 — 0,5| ≈ 0,02, и в выбранном масштабе это соответствует отрезку длиной 0,2 мм. Поэтому график функции y = sin x в интервале (-0,5; 0,5) будет отклоняться (в вертикальном направлении) от прямой у = х не более чем на 0,2 мм, что примерно соответствует толщине проводимой линии.

Уравнение касательная к графику функции. Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке A (x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловыми коэффициентом f’(x0) имеет вид: y = f’(x0)*x + b Для вычисления b воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: f(x0) = f’(x0)*x0 + b, откуда b = f(x0)-f’(x0)*x0, значит, уравнение касательной таково: y=f’(x0)x-f’(x0)*x0+f(x0), или y=f(x0)+f’(x0)(x-x0). (1)   Формула Лагранжа. Воспользуемся геометрическим смыслом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедливости того, что существует касательная к графику f в точке с абсциссой с из интервала (а; b), параллельная секущей, проходящей через точки A (a; f (а)), В (b; f (b)). Рассмотрим прямую l, параллельную АВ и не имеющую общих точек с частью графика, соответствующей промежутку [а; b]. Будем перемещать эту прямую l по направлению к графику f так, чтобы она оставалась параллельной АВ. Зафиксируем положение l0 этой прямой в момент, когда у нее появятся общие точки с этой частью графика. Из рис.1 видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка касания прямой l0 с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда f’(c)=tg α, где α — угол между прямой l0 и осью абсцисс. Но l||АВ, поэтому угол α равен углу наклона секущей АВ, т. е. Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; b) найдется такая точка c∈ (а; b) (рис. 2), что Эта формула называется формулой Лагранжа.

Вопрос 18.