Свойства производной от векторной функции по скалярному аргументу. Три следствия!!!

Опираясь на , можно показать, что справедливы следующие формулы:

(5)

(6) - скалярная функция.

(7)

(8)

Доказательство (7).

Ч.Т.Д.

Исследуем теперь некоторые свойства . Прежде всего найдём его модуль:

.

Далее

Т.к. мы считаем дугу годографа спрямляемой, то тогда - есть длина хорды, а - длина дуги. Поэтому

Т.о. модуль производной от векторной функции скалярного аргумента равен производной от дуги годографа по тому же аргументу.

Следствие 1. Если - единичный вектор, направленный по касательной к годографу в сторону увеличения , то

Следствие 2. Если за аргумент векторной функции принята длина дуги годографа , то

(т.к. )

Т.о. производная от векторной функции по длине дуги годографа равна единичному вектору касательной к годографу, направленному в сторону увеличения длины дуги.

Следствие 3. Если годограф векторной функции рассматривать как траекторию движения точки, а - как время движения, отсчитываемое от некоторого , то по величине и направлению совпадает с вектором скорости движения .

В самом деле, скалярная величина скорости равна производной от пути по времени:

Кроме того, вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения, что соответствует направлению возрастания , т.е. соответствует направлению .

Т.о. .

Рассмотрим теперь , длина которого постоянна, , т.е.

(*) где

Дифференцируя (*), найдём:

, т.е.

В частности, производный вектор от любого переменного по направлению единичного всегда .

Пусть теперь угол между радиусами единичной сферы, проведёнными в точки и годографа . Тогда длина хорды из треугольника будет равна

Модуль производной от единичного переменного вектора равен угловой скорости вращения этого вектора.

Как и для скалярных функций, дифференциал векторной функции записывается в виде

Но и тогда