Дифференциал дуги плоской кривой!!!

Определение. Кривые, для которых может быть установлено понятие длины, называются спрямляемыми.

Условие спрямляемости для плоской кривой, заданной заключается в следующем: на спрямляемом участке кривой и должны иметь непрерывные производные по t - и . Аналогично записывается условие спрямляемости и пространственной кривой: непрерывность

Для всякой спрямляемой кривой справедливо геометрическое свойство: предел отношения б.м. дуги кривой к стягивающей её хорде равен 1, при условии, что хорда стягивается в точку. Если длину , а хорды - .

Опираясь на это свойство найдём выражение для дифференциала дуги кривой.

На плоской кривой возьмём 2 точки и которые соответствуют и . Длина хорды . Найдём теперь производную от длины дуги по :

,

т.к. при

и т.к.

Если кривая задана , то принимая за параметр кривой получим , и полагая в (*) получим

.

Если же кривая задана уравнением в полярных координатах , то за параметр можно принять угол , и тогда

.