Векторная функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. Годограф!!

Одним из наиболее простых способов задания пространственной кривой является задание векторного уравнения:

(1) ,

где - радиус-вектор точки кривой, а - параметр, определяющий положение точки.

Т.о. переменный вектор есть функция скаляра . Такие функции в математическом анализе называют векторными функциями скалярного аргумента.

Разлагая по ортам, уравнению (1) можно придать вид:

(2)

Это разложение даёт возможность перейти к параметрическому уравнению кривой:

(3)

Другими словами, задание векторной функции равносильно заданию трёх скалярных.

По отношению к векторной функции (1), определяющему данную кривую, сама кривая называется годографом этой функции. Начало координат называют в этом случае полюсом годографа.

Пусть теперь и - точки кривой, определяемой уравнением (1). Причём , а Радиус-векторы этих точек будут

и .

Вектор называют приращением векторной функции , соответствующее приращению её аргумента, и обозначают через ,

.

Векторная функция будет непрерывной функцией , если

.

Для нахождения производной от поступим следующим образом –

.

Установим теперь направление . Очевидно, что коллинеарен с и при направлен в ту же сторону, что и а при - в противоположную сторону. Но в первом случае а во втором Т.о. вектор всегда направлен по секущей годографа в сторону возрастания .

Если воспользоваться разложением и по ортам, то

(*) где

Отсюда деля (*) на и переходя к пределу для получим

(4)