Формула замены переменной в определённом интеграле.

Пусть функция непрерывна на промежутке [a; b] и пусть функция определена на промежутке [α; β] и имеет на этом промежутке непрерывную производную. Кроме того, значения этой функции не выходят за пределы промежутка [a; b] (), а на концах промежутка [α; β] выполнены условия: .

Тогда справедлива следующая формула замены переменной:

Доказательство:

Докажем формулу замены переменной для интегралов с переменным верхним пределом. После этого достаточно лишь поставить b и β вместо верхних пределов интегрирования.

Докажем, что производные левой и правой частей одинаковы.

Поскольку производные одинаковы. Левая и правая части равенства (*) могут отличаться лишь на константу.

Если рассмотреть х = а, t = α, то получим, что эта константа равна нулю _равенство (*) доказано, а следовательно доказана и вся формула замены переменной.

Пример: