Разложение в ряд Фурье периодических функций

Если данная функция является периодической с периодом, , и для нее имеет место разложение в ряд Фурье на отрезке , то оно справедливо и на всей прямой .

Действительно, сумма тригонометрического ряда Фурье

,

если она существует, является периодической функцией с периодом , так как и периодические функции.

Аналогично, если функция имеет период, то разложение (1) имеет место для всей прямой.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , определенную следующим образом на периоде:

.

Изобразим график функции с ее периодическим продолжением.

Применив формулы (2) и (3), найдём коэффициенты Фурье.

,

,

.

Следовательно, разложение в ряд Фурье функции имеет вид

.

Оно справедливо во всех точках непрерывности функции .