Разложение в ряд Фурье функций, заданных на

отрезке

Пусть функция определена на отрезке . Тогда подстановкой переходим к функции , которая определена на отрезке . Если кусочно-дифференцируема на отрезке , тогда будет кусочно-дифференцируемой на отрезке . Разлагая в ряд Фурье на отрезке функцию , получим (всюду за исключением, быть может, точек разрыва функции и концов отрезка )

, где

, 0, 1, 2, ,

, 0, 1, 2, ,

Переходя к переменной , имеем , и при этом соответствует , соответствует .

Окончательно,

, (4)

где

,

0, 1, 2, , (5)

,

0, 1, 2, , (6)

Таким образом, функцию , определенную на отрезке можно разложить в ряд Фурье (4), коэффициенты которого вычисляются по формулам (5), (6). Равенство (4) может нарушиться лишь в точках разрыва функции и на концах отрезка .

Пример 2. Разложить функцию на интервале в ряд Фурье.

Решение. По формуле (4) (при ) имеем

.

Вычислим коэффициенты ряда по формуле (5) и воспользовавшись формулой интегрирования по частям , где , , откуда , , получим

Вычислим коэффициенты ряда по формуле (6) и воспользовавшись формулой интегрирования по частям , где , , откуда , , получим

.

Таким образом,

для .