Элементы скалярного поля

Производная скалярного поля по направлению вектора

(рис.3). определяется так: – это скорость изменения скалярного поля в направлении вектора .

M₀

M β

α

0 у

x Рис. 3

Пример 6. Найти скорость изменения скалярного поля в точке в направлении от этой точки к точке .

Решение. Скорость изменения скалярного поля в направлении вектора в точке определяют по формуле

.

В задаче , ,

.

,

,

.

Подставим все найденные величины в первую формулу:

.

Ответ: В заданном направлении данное скалярное поле убывает со скоростью .

Градиент скалярного поля – вектор

.

Очевидно,

(рис. 7).

Рис. 7

Пример 7. Найти величину градиента скалярного поля в точке .

Решение.

.

.

Ответ: .

Задача 4. Найти производную функции в точке в направлении от этой точки к точке .

Решение. Напишем формулу производной функции по направлению вектора .

, где - орт направления вектора .

Сначала найдем вектор , в направлении которого будем искать производную. = . Найдем длину . . Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами орта , поэтому .

Теперь найдем частные производные функции .

Все найденные значения подставляем в формулу производной по направлению.

Вывод. Функция убывает по направлению вектора , так как полученная производная меньше нуля.

Ответ:

Контрольные варианты к задаче 4.

Найти производную функции:

1.	в точке (3; 1) в направлении от этой точки к точке (6; 5).
2.	в точке (4; 1) в направлении от этой точки к точке (5; 1).
3.	в точке (2; 1) в направлении от этой точки к началу координат.
4.	в точке (3; 1) в направлении от этой точки к точке (6; 5).
5.	в точке (1; 1) в направлении от этой точки к точке (2; 2).
6.	в точке (1; 2) в направлении от этой точки к точке (1; 1).
7.	в точке (5; 1) в направлении от этой точки к точке (9; 4).
8.	в точке (1; 2) в направлении от этой точки к точке (1; 1).
9.	в точке (2; 1) в направлении от этой точки к началу координат.
10.	в точке (4; 1) в направлении от этой точки к точке (5; 1).
11.	в точке (1; 2) в направлении вектора, образующего с осью OX угол в 45о.
12.	в точке (1; 1) в направлении, образующем углы α = 30о, β = 60о.
13.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
14.	в точке (1; 2) в направлении, составляющем с осью OX угол в 60о.
15.	в точке (1; 1) по направлению вектора .
16.	в начале координат в направлении луча, образующего угол в 30о с осью OX.
17.	в точке (1; 1) в направлении луча, образующего угол в 60о с осью ОХ.
18.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
19.	в точке (3; 1) по направлению вектора .
20.	в точке (1; 1) в направлении луча, образующего угол в 60о с осью ОХ.
21.	в начале координат в направлении луча, образующего угол в 30о с осью OX.
22.	в точке (1; 3) по направлению вектора .
23.	в точке (1; 2) в направлении, составляющем с осью OX угол в 60о.
24.	в точке (1; 2) в направлении вектора, образующего с осью OX угол в 45о.
25.	в точке (3; 1) по направлению вектора .
26.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
27.	в точке (1; 3) по направлению вектора .
28.	в точке (1; 1) в направлении, образующем углы α = 30о, β = 60о.
29.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
30.	в точке (5; 1) в направлении от этой точки к точке (9; 4).