Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Интегрирование дифференциальных уравнений





Рассмотрим теперь применение рядов Тейлора к решению дифференциальных уравнений. Пусть заданы дифференциальное уравнение и начальные условия, определяющие частное решение. Допустим, что решение уравнения в окрестности точки, в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд,

Продифференцируем этот ряд с неопределенными пока коэффициентами столько раз, каков порядок уравнения.

Подставляя затем в уравнение вместо неизвестной функции и ее производных соответствующие ряды, мы получим тождество, из которого и определим неизвестные коэффициенты ряда. При этом первые коэффициенты ряда определяются из начальных условий. Если, далее, доказать, что полученный ряд сходится, то можно быть уверенным, что он выражает искомое решение.

Достаточно большое число членов ряда дает нам как угодно хорошее приближенное выражение решения в виде многочлена.

Рассмотрим указанный метод на примерах.

интегрированием уравнения.

Пример 4. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Это уравнение нелинейное, и поэтому подстановка вместо его разложения в ряд

привела бы к сложным уравнениям для определения коэффициентов. Поэтому обычно поступают иначе.

Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая как функцию от :

,

.

Подставляя во все уравнения и во все производные и учитывая начальное условие , последовательно найдем:

, ,

,

,

Следовательно, искомое решение записывается в виде ряда Тейлора в точке .

Полученный многочлен в окрестности точки дает как угодно хорошее приближенное выражение решении.

 

Задача2.

Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд. Обеспечить абсолютную погрешность :

2.01 ; 2.02 ; 2.03 ;

2.04 ; 2.05 ; 2.06 ;

2.07 ; 2.08 ; 2.09 ;

2.10 ; 2.11 ; 2.12 ;

2.13 ; 2.14 ; 2.15 ;

2.16 ; 2.17 ; 2.18 ;

2.19 ; 2.20 ; 2.21 ;

2.22 ; 2.23 ; 2.24 ;

2.25 .

 

Задача 3.

Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданными условиями.

3.01 ; , .

3.02 ,

3.03 ,

3.04 ,

3.05, , .

3.06 , .

3.07 , .

3.08 ; , .

3.09 ; , .

3.10 , .

3.11 , .

3.12 , .

3.13 , .

3.14 , .

3.15 , .

3.16 , .

3.17 .

3.18 ; , .

3.19 ; , .

3.20 , .

3.21 ; , .

3.22 , .

3.23 ; , .

3.24 , .

3.25 ; , .

Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье

 

1. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке

 

Определение 1. Тригонометрический ряд

, (1)

коэффициенты которого совпадают с коэффициентами Фурье для функции , т.е. вычисляются по формулам

, где 0, 1, 2, 3, , (2) , где 0, 1, 2, 3, , (3)

 

называются рядом Фурье функции .

 

Теорема 1. Если

функция кусочно-дифференцируема на отрезке , то ряд Фурье функции сходится во всех точках , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , в точках разрыва функции его сумма равна , на концах отрезка его сумма равна .

Пример 1. Разложить функцию ,

на интервале в ряд Фурье.

Решение. Изобразим функцию графиком.

Так как функция

кусочно-дифференци-

руема на отрезке , в силу того, что ее производная

имеет лишь одну точку разрыва внутри отрезка , то ряд Фурье функции сходится к порождающей его функции во всех точках . При этом значение полученного ряда в концах интервала равно

.

Вычислим коэффициенты Фурье. По формуле (2) имеем

.

.

При вычислении интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям

.

Приняв , , откуда , .

Тогда

.

.

Окончательно имеем

.

По формуле (3) имеем

.

При вычислении интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям . Приняв , , откуда , .

Тогда

.

Окончательно имеем

.

Следовательно, функции соответствует ряд Фурье

Date: 2016-07-18; view: 258; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию