Геометрический смысл теоремы о среднем

Где: ← площадь криволинейной трапеции, а

← площадь прямоугольника, построенного на отр. [a,b]

Вопрос № 5.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность и дифференцируемость. Формула Ньютона-Лейбница

Определение: пусть f(x) на [а,b]

1. Разбиение τ на [а,b], а = х0<x1<x2...xi<xi+1...xn = b

2. Δxi = xi+1 - xi λ - max Δxi

3. На каждом Δxi берем точку Ci

4. f(Ci)* Δxi

5. Интегральная сумма σ =

Определенным интегралом f(x) на [а,b] называется предел интегральной суммы, которая не зависит от способа деления и разбиения на точки.

(Если предел интегральной суммы конечен, то функция интегрируется на отрезке)

Переменный верхний предел

f(x) интегрируема на [а,b]

Если f(x) интегрируема на [а,b], то непрерывна на [а,b]

ΔФ = Ф(x+Δx) - Ф(x) =

Ф(x) непрерывна на [а,b]

Дифференцируемость функции f(x)

Если f(x) интегрируема на [а,b] и непрерывна и t=x, то Ф(x) дифференцируема в точке "х" и Ф'(x) = f(x)

Доказательство:

Так как f(t) интегрируема в точке "х", то:

Ɐε Ǝδ(ε): | |<δ | |< ε≤ = ε

Основная формула интегрального исчисления: Формула Ньютона-Лейбница

Любая первообразная f(x) имеет Ф(x) = F(x) + C

На отрезке [a,b] Ф(а) =

Ф(b) =

Вопрос 6:

6. Замена переменной в определенном интеграле.

F(x) интегрируема на отрезке [a,b] x=j(t), [α;β]. j(t) непрерывна на [α;β], имеет непрерывность в α (j(α)=a) и в β (j(β)=b), тогда =

Интегрирование по частям

|b

= UV|a -

Вопрос 7:

Площадь плоской фигуры:

1) В декартовой системе координат:

Разбить отр [a,b] точками :

2) Если уравнение задано параметрически

 

‘ (при ← циклоида

t					2
x		a(
y		a	2a	a	a

 

 

3) В полярных системах координат

 

‘

Разбиение Т:

 

Вопрос 8

Вопрос №9

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая y=f(x). Вычислим длину дуги кривой, заключенной между [a;b].

 

Возьмем на дуге точки с абсциссами и проведем хорды , длины которых обозначим соответственно . Тогда получим ломанную , вписанную в дугу.

Длина ломанной равна:

.

 

 

Определение. Длиной дуги называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломанной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулю:

.

 

Длина всей дуги, заключенной между точками и, вычисляется по формуле

.

 

 

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически.

 

Если кривая (в пространстве или на плоскости) задана параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t), z = z(t), где функции x(t), y(t), z(t) заданы, непрерывны и непрерывно дифференцируемы на промежутке [a, в], то длина дуги равна

(1)

для пространственной кривой и

(2)

для кривой, лежащей в плоскости OXY.

Пример.

3. Найти длину петли кривой x = t², .

Решение.

Кривая дважды проходит через точку x = 1/3, y = 0, при , образуя петлю, длину которой и требуется вычислить. Учитывая, что и , получим .
Тогда

Длина дуги кривой, заданной в полярных координатах:

 

Пусть кривая лежит в плоскости x 0 y и описывается уравнением r = r (φ) в полярных координатах. Представим выражение в виде

.

(1)

Выразим декартовые координаты x и y через полярные координаты r и φ:

, .

(2)

Продифференцируем эти выражения по переменной φ:

, .

(3)

Нетрудно показать, что

(4)

Следовательно,

(5)

Вопрос 10:

Билет №10.