Работа векторного поля.

F (P,Q,R) 1. M_i в M_i+1(F, M_i M_i+1) Скалярное произведение

L: r(t) 2. Просуммируем по всем участкам разбиения

Σ(F, M_i M_i+1)= Σ(F, Δ r_i)

M_i M_i+1=r_i+1 r_i= Δ r_i

lim r->0 Σ(F, Δ r_i)= ∫_L (F,dr)= ∫_L pdx+Qdy+Rdz

F = {P,Q,R}

dr = {dx,dy,dz}

Криволинейный интеграл второго порядка(КИВР) вычисляет нам работу векторного поля.

Пример: Найти работу векторного поля.

a(M) = (y-z)i+(z-x)j+(x-y)k вдоль отрезка соединяющего A(1,1,1) B(2,3,4)

A= ∫_AB (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz=

e (1,2,3)

(x-1)/1=(y-1)/2=(z-1)/3=t Каноническое уравнение прямой

x=t+1 dx=dt

y=2t+1 dy=2dt 0<t<1 Параметрическое уравнение прямой

z=3t+1 dz=3dt

= ∫₀¹ [(2t+1-3t-1) + (3t+1-t-1)*2+(t+1-2t-1)*3]dt= ∫₀¹ (-t+4t-3t)dt= ∫₀¹ 0dt=0

Р абота векторного поля по замкнутому контуру называется циркуляцией.

Вопрос 22:

Вопрос. Поток векторного поля, вывод формулы для его вычисления.

Поток векторного поля- связь поверхностного интеграла 2 рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по области ограниченной этой замкнутой поверхности.

Вопрос 25

Вопрос 26:

Формула Остроградского-Гаусса

Поток векторного поля “a{P,Q,R} через замкнутую поверхность “S” в направлении внешней нормали равен тройному интегралу (по области “V” которой ограничена замкнутой поверхностью) от дивергенции этого векторного поля

Пример:

Вопрос № 27

Физический смысл: С точки зрения физики (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (точнее достаточно малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля:

Если , то т. называется источником.

Если , то в т. называется стоком.

Вопрос 28:

Формулировка теоремы Стокса. Ротор векторного поля, его механический смысл.

Вопрос 29:

Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла.

Формула Грина:

Вычисление площади:

1) Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью ОХ и прямыми x=a, x=b.

ddd

2) Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f(x), и прямыми x=a,x=b.

3) Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывных функций f(x) и .

4) Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций функций f(x) и и осью ОХ.