Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Интегрирование рациональных дробей.Выражения вида , где а - вещественное, k, l - натуральные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями. Известна основная теорема алгебры: любой многочлен степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей: = (4) где -число; Дроби вида , где k, l - натуральные числа, - простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями. Определение. Дробь называется правильной, если (здесь m и n степени многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, соответственно. Если m≥n, дробь называется неправильной. Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби: . Можно доказать следующую теорему. Теорема. Любая правильная рациональная дробь , где многочлен, определённый равенством (4), может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей (m и n — степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе соответственно). Эта сумма строится следующим образом в два этапа: 1) каждый простейший множитель вида порождает следующую сумму из слагаемых: ; 2) каждый сомножитель вида порождает следующую сумму из слагаемых: В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие: (5) Считая в дальнейшем, что коэффициент при старшей степени у многочлена равен единице, на примерах решения задач покажем, как используется сформулированная теорема на практике. Пример: Разложить дробь на простейшие дроби. Решение: Разложим знаменатель на простейшие сомножители: . Тогда ; Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители, то есть . Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях , следовательно, можно записать следующую систему уравнений: . Решая ее, находим, что Окончательно положим . Пример: Разложить дробь на простейшие дроби. Решение: Разложим дробь на простейшие: Тогда . Как и в предыдущей задаче, составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов: Отсюда Следовательно, . Из разложения (5) следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей. Пример: Найти . Решение: Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель). Тогда . Разложим дробь на простейшие дроби: ; Отсюда Следовательно, Но тогда: =
|