Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Достаточные условия экстремума.Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с плюса на минус, то x 0 - точка максимума. Если производная при переходе через точку x 0 меняет свой знак с минуса на плюс, то x 0 - точка минимума.
План исследования функции. Для построения графика функции нужно:
1) найти область определения и область значений функции, 2) установить, является ли функция чётной или нечётной, 3) определить, является ли функция периодической или нет, 4) найти нули функции и её значения при x = 0, 5) найти интервалы знакопостоянства, 6) найти интервалы монотонности, 7) найти точки экстремума и значения функции в этих точках, 8) проанализировать поведение функции вблизи “особых” точек и при больших значениях модуля x. П р и м е р. Исследуйте функцию f (x) = x 3 + 2 x 2 - x - 2 и постройте график.
Р е ш е н и е. Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.
1) область определения x R (x – любое действительноечисло); область значений y R, так как f (x) – многочлен нечётной степени;
2) функция f (x) не является ни чётной, ни нечётной (поясните, пожалуйста);
3) f (x) – непериодическая функция (докажите это сами);
4) график функции пересекается с осью Y в точке (0, – 2), так как f (0) = - 2; чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, один из корней которого (x = 1) очевиден. Другие корни находятся (если они есть!) из решения квадратного уравнения: x 2 + 3 x + 2 = 0, которое получено делением многочлена x 3 + 2 x 2 - x - 2 на двучлен (x – 1). Легко проверить, что два других корня: x 2 = -2 и x 3 = -1. Таким образом, нулями функции являются: -2, -1 и 1.
5) Это значит, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак: Этот результат может быть получен разложением многочлена на множители:
x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)
и оценкой знака произведения методом интервалов.
6) Производная f’ (x) = 3 x 2 + 4 x -1 не имеет точек, в которых она не существует, поэтому её область определения R (все действительные числа); нули f’ (x) – это корни уравнения: 3 x 2 + 4 x - 1 = 0. Полученные результаты сведены в таблицу:
|