Интеграл с переменным верхним пределом

Пусть на отрезке [ a, b ] задана непрерывная функция f (x), тогда для любого x [ a, b ] существует функция:

задаваемая интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой части равенства.

На интеграл с переменным верхним пределом распространяются все правила и свойства определённого интеграла.

П р и м е р.

Переменная сила на прямолинейном пути изменяется по закону: f (x) = 6 x 2 + 5 при x 0. По какому закону изменяется работа этой силы?

Р е ш е ни е.

Работа силы f (x) на отрезке [ 0, x ] прямолинейного пути равна: Таким образом, работа изменяется по закону: F (x) = 2 x 3 + 5 x.

Из определения интеграла с переменным верхним пределом - функции F (x) и известных свойств интеграла следует, что при x [ a, b ]

F' (x) = f (x).

Проверьте это свойство на приведенном примере.

Урок 18. Множества

Теория: Основные понятия. Примеры множеств. Операции над множествами.

Задачи: Множества.

Основные понятия. Примеры множеств

Множество. Элемент множества.Конечное множество.

Пустое множество. Бесконечное множество. Счётное множество.

Несчётное множество. Выпуклое множество.Способы задания множеств.

Множество и элемент множества относятся к числу первичныхпонятий, для которых не существует определений в строгом смысле слова. Поэтому обычно говорят о множестве как о наборе предметов (элементов множества), наделённых определёнными общими свойствами. Множество книг в библиотеке, множество автомобилей на стоянке, множество звёзд на небосводе, растительный и животный мир Земли – всё это примеры множеств.

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например,множество страниц в книге, множество учеников в школе и т.д.

Пустое множество ()не содержит ни одного элемента, например, множество крылатых слонов, множество корней уравнения sin x = 2 и т.д.

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. этомножество, которое не является ни конечным, ни пустым. Примеры: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множествоатомов во Вселенной и т.д.

Счётное множество – множество, элементы которого можно пронумеровать. Например, множества натуральных, чётных, нечётных чисел. Счётное множество может быть конечным (множество книг вбиблиотеке) или бесконечным (множество целых чисел, его элементы можно пронумеровать следующим образом:

элементы множества: …, –5, – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

номера элементов:... 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10...).

Несчётное множество – множество, элементы которого невозможнопронумеровать. Например, множество действительных чисел. Несчётное множество может быть только бесконечным (продумайте, почему?).

Выпуклое множество – множество, которое наряду с любыми двумя точками А и В содержит также весь отрезок АВ. Примеры выпуклых множеств: прямая, плоскость, круг. Однако, окружность не является выпуклым множеством.

Способы задания множеств. Множество может быть задано следующимобразом:

– перечислением всех его элементов по их названиям (так описываются множество книг в библиотеке, множество учеников в классе, алфавит любого языка и т.д.);

– заданием общей характеристики (общих свойств) элементов данногомножества (например, множество рациональных чисел, собаки, семейство кошачих и т.д.);

– формальным законом построения элементов множества (например, формула общего члена числовой последовательности, Периодическая система элементов Менделеева и т.д.).