Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда:

если f '' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b);

если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b).

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует,что если в точке перегиба x ₀ существует вторая производная f '' (x ₀), то f'' (x ₀) = 0.

П р и м е р.

Рассмотрим график функции y = x 3 : Эта функция является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. В самом деле, y'' = 6 x, но 6 x > 0 при x > 0 и 6 x < 0при x < 0, следовательно, y'' > 0 при x > 0 и y'' < 0 при x < 0,откуда следует, что функция y = x 3 является вогнутой при x > 0 и выпуклой при x < 0. Тогда x = 0 является точкойперегиба функции y = x 3.

Урок 17. Интеграл

Теория: Первообразная. Неопределённый интеграл. Основные свойства неопределённого интеграла. Методы интегрирования. Некоторые неопределённые интегралы от элементарных функций. Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Основные свойства определённого интеграла. Приложения определённого интеграла в геометрии и механике. Некоторые определённые интегралы. Интеграл с переменным верхним пределом.

Задачи: Интеграл.

Первообразная. Неопределённый интеграл

Первообразная. Неопределённый интеграл.

Постоянная интегрирования.

Первообразная. Непрерывная функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на промежутке X, если для каждого

F’ (x) = f (x).

П р и м е р. Функция F (x) = x ³ является первообразной для функции

f (x) = 3 x ² на интервале (- , + ), так как

F’ (x) = (x ³) ’ = 3 x ² = f (x)

для всех x (- , + ).

Легко проверить, что функция x ³ + 13 имеет ту же производную

3 x ², поэтому x ³ + 13 также является первообразной для функции

3 x ² для всех x (- , + ). Ясно, что вместо 13 можно взять

любую постоянную.

Таким образом, задача нахождения первообразной имеет бесчисленное множество решений. Этот факт нашёл отражение в определении неопределённого интеграла.

Неопределённый интеграл функции f (x) на промежутке X есть множество всех её первообразных. Это записывается в виде:

где C – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования.

Основные свойства неопределённого интеграла

Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, и k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции f (x) и g (x) имеют первообразные на промежутке X, то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, то для внутренних точек этого промежутка:

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

Если функция f (x) непрерывна на промежутке X и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюспостоянная интегрирования.