Свойства касательной.

1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенномув точку касания (AB OK, рис.40).

2) Из точки, лежащей вне круга, можно провести две касательные кодной и той же окружности; их отрезки равны (рис.41).

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой ACB и соответствующей хордой AB (рис.42). Длина перпендикуляра CD, проведенного из середины хорды AB до пересечения с дугой ACB, называется высотой сегмента.

Сектор –это часть круга, ограниченная дугой A m B и двумя радиусамиOA и OB, проведенными к концам этой дуги (рис.43).

Углы в круге. Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами ( AOB, рис.43). Вписанный угол – угол, образованный двумя хордами ABи AC, проведенными из их одной общей точки ( BAC, рис.44). Описанный угол – угол, образованный двумя касательными AB и AC, проведенными из одной общей точки ( BAC, рис.41).

Длина дуги окружности пропорциональна её радиусу r и соответствующему центральному углу :

l = r

Таким образом, если мы знаем длину дуги l и радиус r, то величина соответствующего центрального угла может быть определена их отношением:

= l / r.

Эта формула является основой для определения радианного измерения углов. Так, если l = r, то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану (это обозначается: = 1 рад). Таким образом, мы имеем следующее определение радиана как единицы измерения углов: радиан – это центральный угол ( AOB, рис.43), у которого длина дуги равна её радиусу (A m B = AO, рис.43). Итак, радианная мера любого угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к её радиусу. В частности, в соответствии с формулой длины дуги, длина окружности C может быть выражена следующим образом:

C = 2 r,

где определяется как отношение C к диаметру круга 2 r:

= C / 2 r.

- иррациональное число; его приближённое значение 3.1415926…

С другой стороны, 2 - это круговой угол окружности, который в градусной системе измерения равен 360º. На практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны. В этом случае длина дуги может быть вычислена по приближённой формуле Гюйгенса:

p 2 l + (2 l – L) / 3,

где (см. рис.42): p – длина дуги ACB; l – длина хорды AC; L – длина хорды AB. Если дуга содержит не более чем 60º, относительная погрешность этой формулы не превышает 0.5%.

Соотношения между элементами круга. Вписанный угол ( ABC, рис.45) равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу A mC ( AOC, рис.45). Поэтому, все вписанные углы (рис.45), опирающиеся на одну и ту же дугу (A m C, рис.45), равны. А так как центральный угол содержит то же количество градусов, что и его дуга (A m C, рис.45), то любой вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (в нашем случае A m C).

Все вписанные углы, опирающиеся на полукруг ( APB, AQB, …, рис.46), прямые (Докажите это, пожалуйста!).

Угол ( AOD, рис.47), образованный двумя хордами (AB и CD), измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами: (A n D +C m B) / 2.

Угол ( AOD, рис.48), образованный двумя секущими (AO и OD), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (A n D – B m C) / 2.

Угол ( DCB, рис.49), образованный касательной и хордой (AB и CD), измеряется половиной дуги, заключённой внутри него: C m D / 2.

Угол ( BOC, рис.50), образованный касательной и секущей (CO и BO), измеряется полуразностью дуг, заключённых между его сторонами: (B m C – C n D) / 2.

Описанный угол ( AOC, рис.50), образованный двумя касательными (COи AO), измеряется полуразностью дуг, заключенных между егосторонами: (ABC – CDA) / 2.

Произведения отрезков хорд (AB и CD, рис.51 или рис.52), на которые они делятся точкой пересечения, равны: AO · BO = CO · DO.

Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть (рис.50): OA² = OB · OD (докажите!). Это свойство можно рассматривать как частный случай рис.52.

Хорда (AB, рис.53), перпендикулярная диаметру (CD), делится в их точке пересечения O пополам: AO = OB.

(Попробуйте доказать это!).