Свойства параллелограмма.

1. Противоположные стороны параллелограмма равны (AB = CD, AD =BC).

2. Противоположные углы параллелограмма равны ( A = C, B = D).

3. Диагонали параллелограмма делятся в точке их пересечения пополам (AO = OC, BO = OD).

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD².

Признаки параллелограмма.

Четырёхугольник является параллелограммом, если выполняется одно изследующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны (AB = CD, AD = BC).

2. Противоположные углы попарно равны ( A = C, B = D).

3. Две противоположные стороны равны и параллельны (AB = CD, AB|| CD).

4. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам (AO = OC, BO =OD).

Прямоугольник.

Если один из углов параллелограмма прямой, то все остальные углы также прямые (почему?). Такой параллелограмм называется прямоугольником (рис.33).

Основные свойства прямоугольника.

Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.

Диагонали прямоугольника равны: AC = BD.

Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его сторон (см. выше теорему Пифагора):

AC ² = AD ² + DC ².

Ромб. Если все стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм называется ромбом (рис.34).

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны (AC BD) и делят их углыпополам ( DCA = BCA, ABD = CBD и т.д.).

Квадрат – это параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами (рис.35). Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромбаодновременно; поэтому он обладает всеми их вышеперечисленными свойствами.

Трапеция - это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны (рис.36).

Здесь AD || BC. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие (AB и CD) – боковыми сторонами. Расстояние между основаниями (BM) есть высота. Отрезок EF, соединяющий средние точки E и F

боковых сторон, называется средней линией трапеции. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

и параллельна им: EF || AD и EF || BC.

Трапеция с равными боковыми сторонами (AB = CD) называется равнобочной трапецией. В равнобочной трапеции углы при каждом основании равны ( A = D, B = C).

Параллелограмм может рассматриваться как частный случай трапеции.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий средние точкибоковых сторон треугольника. Средняя линия треугольника равна половине его основания и параллельна ему. Это свойство вытекает из предыдущего

пункта, так как треугольник может рассматриваться как случай вырождения трапеции, когда одно из её оснований превращается в точку.