Замечательные линии и точки в треугольнике.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника. Три высоты треугольника всегдапересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.Ортоцентр остроугольного треугольника (точка O, рис.26) расположен внутри треугольника, а ортоцентр тупоугольного треугольника (точка O, рис.27) – снаружи; ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника (AD,BE, CF, рис.28) пересекаются в одной точке O, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся его центром тяжести. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла от вершины до точкипересечения с противоположной стороной. Три биссектрисы треугольника (AD, BE, CF, рис.29) пересекаются в одной точке О, всегда лежащей внутри треугольника и являющейся центром вписанного круга (см. раздел «Вписанные и описанные многоугольники»).

Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам; например, на рис.29 AE:CE = AB: BC.

Срединный перпендикуляр – это перпендикуляр, проведенный из среднейточки отрезка (стороны). Три срединных перпендикуляра треугольника АВС (KO, MO, NO, рис.30) пересекаются в одной точке О, являющейся центром описанного круга (точки K, M, N – середины сторон треугольника ABC).

В остроугольном треугольнике эта точка лежит внутри треугольника; в тупоугольном – снаружи; в прямоугольном - в середине гипотенузы.Ортоцентр, центр тяжести, центр описанного и центр вписанного кругасовпадают только в равностороннем треугольнике.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат длиныгипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Доказательство теоремы Пифагора с очевидностью следует из рис.31.Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами a, b и гипотенузой c.

Построим квадрат AKMB, используя гипотенузу AB как сторону. Затемпродолжим стороны прямоугольного треугольника ABC так, чтобы получить квадрат CDEF, сторона которого равна a + b. Теперь ясно, что площадь квадрата CDEF равна (a + b) ². С другой стороны, эта площадь равна сумме площадей четырёх прямоугольных треугольников и квадратаAKMB, то есть

c ² + 4 (ab / 2) = c ² + 2 ab,

отсюда,

c ² + 2 ab =(a + b) ²,

и окончательно имеем:

c ²= a ² + b ².