Производная по направлению

Рассмотрим функцию дифференцируемую в окрестности точки области D. Проведем через M луч S и на расстоянии от точки M возьмем точку

Пусть точка принадлежит окрестности точки , в которой функция U дифференцируема, следовательно, полное приращение функции U можно представить в виде:

, , - бесконечно малые функции.

Разделим (1) на величину

,

учитывая, что (1`) можно переписать в виде:

(2)

Определение: предел отношения к , при (при условии, что он существует) называется производной функции U по направлению S. Переходя в выражении (2) к пределу, получим выражение производной функции по направлению:

Из (3) вытекает, что если направление S совпадает с координатными осями, то производная по направлению S превращается в соответствующие частные производные.

Градиент

Формулу (3) можно переписать в матричном виде:

Вектор называется градиентом функции U в точке с координатами .

Вектор с координатами называется направляющим вектором луча S единичной длины.

Тогда (3`) можно записать в виде:

Выражение в скобках обозначает скалярное произведение. С помощью вектора выражается (3``) можно записать в виде.

.

Соотношение (4) указывает на свойства grad. Отложим от точки M вектор grad U и на этом grad как на диаметре построим сферу. Проведем через точку M произвольный луч S и обозначим точку P пересечения сферы и луча, очевидно

Свойства:

10. Производная функции U по направлению S принимает максимальное значение, если направление S совпадает с направлением , при этом величина производная по направлению , вектор показывает в каком направлении происходит максимальное возрастание функции.

20. Производная функции U в направление S перпендикулярном направлению равна 0, т.е. вектор направлен перпендикулярно поверхности уровня.