Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Частные производные различных порядковСтр 1 из 6Следующая ⇒
Пусть задана функция двух переменных . Частные производные этой функции , . Сами могут являться функциями двух переменных. При этом можно говорить о частных производных различных порядков. Производные второго порядков , , , . Частные производные n -го порядка определяются рекуррентно, как частные производные от соответствующей производной первого порядка. , называются смешанными производными. Рассмотрим вопрос о зависимости результата дифференцирования функции нескольких переменных от различного порядка дифференцирования.
Теорема: Если функция и её частные производные , , , определены и непрерывны в точке и в некоторой её окрестности, то имеет место равенство: .
Доказательство: Рассмотрим величину . Видим, что величину A можно представить как приращение функции . Величина y при этом остается неизменной, таким образом , где функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа в некоторой окрестности точки M. , где находится между и . Выражение в скобках является приращением , соответствующим изменению переменной у, используя теорему Лагранжа повторно: , где находится между и у+ . Переставим теперь в выражении A среднее слагаемое. При этом полученное выражение можно рассмотреть как приращение функции одной переменной у. . Используя теорему Лагранжа, получим: . Применив к выражению в скобках, как функции переменной x теорему Лагранжа, получим. , где между и . Приравнивая найденные представления, получим, что , В силу непрерывности, . Переходя в (12) к пределу, получим равенство производных.
|