Применение методов теории вероятностей для анализа надежности в простейших схемах

Цель занятия: научиться определять вероятности отказов и безотказной работыпростейших схем электрических сетей с помощью теории вероятностей.

При подготовке к практическому занятию используется материал, изложенный в [1, 2,4].

Примеры решения задач.

Задача 1. Определить вероятность перерыва электроснабжения в схеме, показанной на рисунке 1.1

Рисунок 1.1 Схема электропередачи

Известны вероятности отказов элементов схемы:

Определим вероятности безотказной работы каждого элемента схемы как противоположное событие

Эту задачу можно решить двумя способами: по теореме сложения для совместныхсобытий (I способ) и через противоположные события (II способ).

I способ.

Одновременно могут отказать и один и любые два, и любые три, и четыре элемента, поэтому вероятность перерыва в электроснабжении будет:

Подставляем вместо вероятностей отказов их значения, получим

Учитывая, что произведение двух и более вероятностей отказов - величины практически равные нулю, можно записать:

Сравнивая два результата, видно, что погрешность второго решениясоставляет 0,9%.

Следовательно, в электроэнергетике при последовательном соединении небольшого количества элементов вероятность отказа схемы (перерыва в электроснабжении) определяется как сумма вероятностей отказов ее элементов:

II способ

В предыдущем случае точные расчеты громоздки, а допущения о пренебрежительности произведения вероятностей при увеличении числа элементов схемы будет приводить к увеличению погрешности расчета. Возможен другой путь.Определим вероятность передачи электроэнергии в рассматриваемой схеме. Длятого чтобы потребитель получил электроэнергию все элементы схемы должны работать,тогда по теореме умножения для совместных событий:

а вероятность отказа схемы определяется как противоположное событие:

Аналогично решается задача по отказу схемы однотрансформаторной подстанции(см. рис 1.2.).

Рисунок 1.2 Схема подстанции

Вероятность отказа схемы определяется через противоположное событие:

Задача 2. Определить вероятность передачи в энергорайон мощности равной 100МВт, 50 МВт для структурной схемы сети, приведенной на рис. 1.3.

Рисунок 1.3 Структурная схема сети

Вероятность передачи мощности определяется сочетаниями количествавключенных и отключенных линий по теореме умножения для совместных событий:

Задача 3. Определить вероятность возможных дефицитов мощности в схеме, приведенной на рисунке 1.4., и вероятность передачи потребителю требуемой мощности.В данном случае целесообразно представить подстанцию в виде двух параллельносоединенных цепочек.Определим вероятность безотказной работы по теореме умножений для независимых совместных событий и отказа каждой цепочки как противоположное событие:

где р_i=1 - q_i– вероятность безотказной работы каждого i -того элемента цепочки.

Рисунок 1.4 Расчетная схема подстанции

Тогда схема подстанции будет представлена в виде:

Рисунок 1.5 Преобразование схемы подстанции

Отказ схемы приведет к дефициту мощности в 50 МВА, его вероятность равна:

Вероятность передачи потребителю требуемой мощности будет определяться двумя сложными событиями: нормальная работа всех элементов схемы и рабочее состояниеодной цепи и нерабочее состояние другой: